matematikk.net

1. Følgen {[tex]a_{n}[/tex]} konvergerer mot et tall [tex]a[/tex] dersom det for ethvert reelt tall [tex]\varepsilon >0[/tex] finnes et tall [tex]N \in \mathbb{N}[/tex] slik at [tex]\left | a_{n}-a \right |<\varepsilon[/tex] for alle [tex]n \geq N[/tex]. I så fall skriver vi [tex]\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=a[/tex]

2. Følgen {[tex]a_{n}[/tex]} divergerer mot uendelig dersom det for ethvert tall [tex]c\in \mathbb{R}[/tex] finnes en [tex]N \in \mathbb{N}[/tex] slik at [tex]a_{n}>c[/tex] for alle [tex]n \geq N[/tex]. I så fall skriver vi [tex]\lim_{n \to \infty }a_{n}=\infty[/tex]

3. En funksjon [tex]f[/tex] er kontinuerlig i et punkt [tex]a\in D_{f}[/tex] dersom følgende gjelder: For enhver [tex]\varepsilon >0[/tex] finnes det en [tex]\delta >0[/tex] slik at når [tex]x\in D_{f}[/tex] og [tex]\left | x-a \right |<\delta[/tex], så er [tex]\left | f(x)-f(a) \right |<\varepsilon[/tex].

Kan noen forklare dette til meg på babyspråk? Jeg vet hva alle symbolene betyr, hva konvergens er, grenseverdier, absoluttverdi, krokodilletegn, alt sammen, men dette sier meg ikke så mye

Her har du hvertfall et forsøk til forklaring på 1.

1. Følgen ${a_n}$ konvergerer mot et tall $a$ dersom det for ethvert reelt tall $\epsilon > 0$ finnes et tall $n \in \mathbb{N}$ slik at $|a_n-a| < \epsilon$ for alle $n \geq N$. I så fall skriver vi $\lim_{n\to\infty} a_n = a$
Dette utsagnet snakker om uendelig følger - altså en følge av uendelig mange elementer. Men hva betyr egentlig uendelig mange elementer? Det er ikke mulig med uendelig mange elementer - det er kun et abstrakt begrep. Når vi sier at en følge konvergerer mot et tall $a$, betyr det at det $n$-te elementet i følgen er veldig nærme $a$, men allikevell vil $a_n \neq n$. Dette fordi vi ikke kan ha en uendelig lang følge, men vi kan ha en følge der antall elementer går mot uendelig. Bokstaven epsilon ($\epsilon$) betegner verdien som er rett over den lille differansen mellom $a_n$ og $a$ - et slags "pusterom". Hvis en følge konvergerer mot $a$, vil man nærme seg verdien mer og mer for hvert nye element i følgen, men man vil aldri nå akkurat $a$. Derav kommer grenseverdien; ettersom vi kommer lengre og lengre ut i følgen vil det $n$-te elementet konvergere mot $a$, men aldri helt nå det.

Her er et eksempel;
Vi definerer følgen $f_n = \frac{1}{n}$.
Når det $n$-te leddet går mot uendelig vil uttrykket konvergere mot $0$.
Altså $\lim_{n\to\infty} f_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$. Men som du selv sikkert ser vil aldri uttrykket bli 0. Ja, det blir bare mindre og mindre, men det når aldri 0.
Differansen mellom det $n$-te elementet og den verdien $f_n$ konvergerer mot, vil være mindre enn $\epsilon$, men $\neq 0$. Jeg regner med at absoluttverdi-tegnene er der kun for å få en positiv differanse, da $\epsilon > 0$.

Når du sier at epsilon betegner verdien som er rett over [tex]\left | a_{n}-a \right |[/tex] så kom jeg på en ting. Som du selv sa så vil uttrykket aldri bli 0, men definisjonen sier bare at [tex]\left | a_{n}-a \right |<\varepsilon[/tex] mens epsilon må være større enn 0. Det betyr ikke at [tex]\left | a_{n}-a \right |[/tex] ikke kan være null, i følge definisjonen. Er ikke dette en helt essensiell egenskap ved grenseverdier som definisjonen glemmer?

erikalexander wrote:Når du sier at epsilon betegner verdien som er rett over [tex]\left | a_{n}-a \right |[/tex] så kom jeg på en ting. Som du selv sa så vil uttrykket aldri bli 0, men definisjonen sier bare at [tex]\left | a_{n}-a \right |<\varepsilon[/tex] mens epsilon må være større enn 0. Det betyr ikke at [tex]\left | a_{n}-a \right |[/tex] ikke kan være null, i følge definisjonen. Er ikke dette en helt essensiell egenskap ved grenseverdier som definisjonen glemmer?

Jeg er ingen mester på følger og rekker - jeg skal snart ha om det i R2. Dette får noen andre svare på. Et veldig godt spørsmål for øvrig!

mattemarkus wrote:Jeg er ingen mester på følger og rekker - jeg skal snart ha om det i R2. Dette får noen andre svare på. Et veldig godt spørsmål for øvrig!

Åja. Jeg har allerede hatt R2 og syntes det var veldig greit. Gått to uker på universitetet nå og føler meg litt som en fisk på land. Kalkulus boka er ganske kryptisk noen ganger.

går du på MAMI?

hco96 wrote:går du på MAMI?

Nope

ikke jeg heller

erikalexander wrote:1. Følgen {[tex]a_{n}[/tex]} konvergerer mot et tall [tex]a[/tex] dersom det for ethvert reelt tall [tex]\varepsilon >0[/tex] finnes et tall [tex]N \in \mathbb{N}[/tex] slik at [tex]\left | a_{n}-a \right |<\varepsilon[/tex] for alle [tex]n \geq N[/tex]. I så fall skriver vi [tex]\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=a[/tex]

Vet ikke hvor mye dette hjelper, men det var seint og jeg følte meg i det kreative hjørnet!

==============================
Rikerud og K. Ompis går nedover en gate i Kristiania i det flotte været. Det begynner å bli varmt, og vennene bestemmer seg derfor for å kjøpe seg en is hos Sørensens Is. De setter seg ved en benk, for Rikerud har en nyhet å fortelle.

Rikerud: Du K?
K. Ompis: Ja?
Rikerud: Jeg tror det må være noe galt med banken min, fordi jeg ringte her en dag, og de fortalte at [tex]lim_{n\rightarrow\infty}P_n=1'500'000[/tex]

K. Ompis var forfjamset: Hæ? Hva snakker du om?

Rikerud: Antall penger jeg har i banken etter uendelig lang tid er bare 1'500'000
K. Ompis: Det kan da ikke stemme?! Hvis pengene du har nå fortsetter å forrente seg burde du vel ha mere og mere penger hvert år!

Guttene er forvirret, men heldigvis for dem kommer det en gatemusiker forbi. Han er fra Ungarn.
S. Ynsk: Hei, jeg heter Salomon Ynsk. Vil dere høre en sang?
K. Ompis: Beklager du, vi sitter og er forvirret
S. Ynsk: Kanskje jeg kan hjelpe?

Etter at guttene finner ut at S er synsk, får K straks en idé!
K. Ompis: Hei, S! Hvor mye penger har Rikerud i banken etter at det har gått uendelig mange år?

S tenker, før han sier: Beklager gutter, jeg kan ikke telle til uendelig. Min for fortalte meg at man blir innlagt tilslutt hvis man prøver å telle så langt
Guttene får en annen idé:
Rikerud: Hvor lenge er det til jeg har 1'400'000 i banken?
S: Det er lettere! Ca. 50 år

Rikerud: Enn 1'480'000 da?
S: 130 år

Rikerud: 1'499'990?
S: 20'000 år

Rikerud: 1'500'000
S: Hmm... hmm..., hmm...., ehhh....

Rikerud: 1'499'999
S: 1'142'857'000'030'000'301 år

Rikerud: Hmm? Hvis jeg velger et beløp rett under 1'500'000 men ikke 1'500'000 selv, kan du da alltid si hvor lenge det er til jeg har det beløpet i banken?
S: Hmm... ja

K. Ompis: Vel, RIkerud. Siden S alltid vet hvor lenge det er til du har et beløp rett under 1'500'000, så ser det ut som du kommer til å få rundt 1'500'000 tilslutt

Vennene spiser isen, og går hjem for å spille Dark Souls 3.
==============================

Hele idéen med definisjonen er å finne en formell måte å si "nærmer seg" på. Hvordan kan vi si at en følge (antall kroner i banken i historien) nærmer seg en verdi, etter uendelig mange steg (år)? Trikset er å si at "nærme seg verdien" = "komme så nærme du vil". Det er det [tex]|a_n-a|<\epsilon[/tex] betyr. [tex]\epsilon[/tex] er hvor nærme du vil komme.

Etter at du har bestemt en [tex]\epsilon[/tex], bestemt hvor nærme du vil være verdien, må du vise at du kommer dit på [tex]n[/tex] steg.
I hele historien kan du bytte ut "år" med "n", og "pengesummene som RIkerud foreslår" med "[tex]a_n[/tex]".