matematikk.net

Trenger litt hjelp på vei med denne oppgaven.

Bestem k slik at y − 36x = k er en normal til kurven y = 1/|x − 7|.

Det jeg ser av grafen etter å ha tegnet denne. Er hvis y=36x+k skal kunne stå normalt på kurven y må dette være da x>7. Det går ikke an ut fra tegningen å få den til å stå vinkelrett på y til venstre for grenseverdien 7. Sist jeg holdt på med normaler var når jeg gjorde oppgaver med vektorer, er det noe jeg kan anvende her?

Hadde satt veldig stor pris på hjelp her

Jen88 wrote:Trenger litt hjelp på vei med denne oppgaven.

Bestem k slik at y − 36x = k er en normal til kurven y = 1/|x − 7|.

Det jeg ser av grafen etter å ha tegnet denne. Er hvis y=36x+k skal kunne stå normalt på kurven y må dette være da x>7. Det går ikke an ut fra tegningen å få den til å stå vinkelrett på y til venstre for grenseverdien 7. Sist jeg holdt på med normaler var når jeg gjorde oppgaver med vektorer, er det noe jeg kan anvende her?

Hadde satt veldig stor pris på hjelp her

Kurven $y = \frac{1}{|x-7|}$ kan parameteriseres som $$\textbf{r}(\tau) = \left(\tau, \frac{1}{|\tau-7|}\right), \quad \tau\in\mathbb{R}\setminus\{7\}.$$
Vi kan nå finne en tangentvektor $$\textbf{t}(\tau) = \textbf{r}'(\tau) = \left(1,-\frac{\tau - 7}{|\tau - 7|^3}\right),$$
og vi ser videre at $\textbf{n}(\tau) = \left(\tau - 7,|\tau - 7|^3\right)$ er en normalvektor til kurven, ettersom $\textbf{n}\cdot\textbf{t} = 0.$
Vi trenger å finne de eventuelle verdier for $\tau$ slik at $\textbf{n}\parallel(1,36),$ altså slik at det finnes $c\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ slik at vi kan skrive $$\left(\tau - 7, |\tau - 7|^3\right) = c(1,36).$$ Fra annenkoordinatens likning ser vi at $c\geq 0$, så fra førstekoordinatens likning får vi at $\tau \geq 7$. Dermed får vi $|\tau - 7| = \tau - 7$, så vi får likningen $$c^3 = 36c.$$ Vi vet at $c\neq0$, så $c= 6$. Dermed er $\tau = 13$, så linja $l$ gitt ved $y - 36x = k$ vil stå normalt på kurven $\textbf{r}$ dersom $l$ krysser punktet $$p = \left(13, \frac{1}{|13 - 7|}\right) = \left(13,\frac16\right).$$ Altså krever vi at $36\cdot 13 + k = \frac16$, så $k = -\frac{2807}{6}.$