matematikk.net

Jeg prøver å finne "a Möbius transformation that maps from the unit disk D onto the upper half-plane H"

Har noen alternativer:
1)
[tex]f(z)=1/2(z + (1/z))[/tex]
DVs
Juokowski mapping

2)
[tex]f_2(z)=(i(z+1)) / (1-z)[/tex]

3)
[tex]f_3(z)=(-i(z-1)) / (1+z)[/tex]

noen som kan dette, har hint?

Janhaa wrote:Jeg prøver å finne "a Möbius transformation that maps from the unit disk D onto the upper half-plane H"

Har noen alternativer:
1)
[tex]f(z)=1/2(z + (1/z))[/tex]
DVs
Juokowski mapping

2)
[tex]f_2(z)=(i(z+1)) / (1-z)[/tex]

3)
[tex]f_3(z)=(-i(z-1)) / (1+z)[/tex]

noen som kan dette, har hint?

Triks: Merk at $\mathbb{H}$ er mengden punkter $z$ i planet som har kortere avstand til $i$ enn til $-i$, altså som tilfredsstiller $|z-i| < |z+i|$. Altså ser vi at $|\frac{z-i}{z+i}| < 1$, så vi har en Möbius-transformasjon $\phi: z \mapsto \frac{z-i}{z+i}$ som tilfredsstiller $\phi: \mathbb{H} \rightarrow \mathbb{D}$. Vi ser at $\phi$ har en invers gitt ved $\phi^{-1}:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{H}, \phi^{-1}(z) = \frac{iz+i}{1-z}$, så vi kan bruke $\phi^{-1}$.

DennisChristensen wrote:
Triks: Merk at $\mathbb{H}$ er mengden punkter $z$ i planet som har kortere avstand til $i$ enn til $-i$, altså som tilfredsstiller $|z-i| < |z+i|$. Altså ser vi at $|\frac{z-i}{z+i}| < 1$, så vi har en Möbius-transformasjon $\phi: z \mapsto \frac{z-i}{z+i}$ som tilfredsstiller $\phi: \mathbb{H} \rightarrow \mathbb{D}$. Vi ser at $\phi$ har en invers gitt ved $\phi^{-1}:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{H}, \phi^{-1}(z) = \frac{iz+i}{1-z}$, så vi kan bruke $\phi^{-1}$.

Fint triks det der! Ganske så elegant, og verdt å huske på!

DennisChristensen wrote: Triks: Merk at $\mathbb{H}$ er mengden punkter $z$ i planet som har kortere avstand til $i$ enn til $-i$, altså som tilfredsstiller $|z-i| < |z+i|$. Altså ser vi at $|\frac{z-i}{z+i}| < 1$, så vi har en Möbius-transformasjon $\phi: z \mapsto \frac{z-i}{z+i}$ som tilfredsstiller $\phi: \mathbb{H} \rightarrow \mathbb{D}$. Vi ser at $\phi$ har en invers gitt ved $\phi^{-1}:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{H}, \phi^{-1}(z) = \frac{iz+i}{1-z}$, så vi kan bruke $\phi^{-1}$.

takk for den fiffige løsningen...