matematikk.net

Hei,
jeg er usikker angående fremgangsmetode for å løse oppgaver med delbrøksoppspaltting (integrasjon).
Har denne oppgaven
[tex]\int_{0}^{\infty }\frac{6}{(x^{2}+4)(x^{2}+25)} dx[/tex]


Selve det uegentlige integralet skal nok gå fint, men først er jeg jo nødt til å delbrøkoppspalte.
Regner med å få noe på formen atan(ax) når jeg er ferdig.

Tusen takk!

Delbrøkoppspalting: Sett [tex]\frac{ 6 } {(x^2 +4)(x^2 + 25)}[/tex] = [tex]\frac{ a }{x^2 + 4}[/tex] + [tex]\frac{b}{x^2 + 25}[/tex].

Da får du a = [tex]\frac {2} {7}[/tex] og b = - [tex]\frac{2}{7}[/tex]

OYV wrote:Delbrøkoppspalting: Sett [tex]\frac{ 6 } {(x^2 +4)(x^2 + 25)}[/tex] = [tex]\frac{ a }{x^2 + 4}[/tex] + [tex]\frac{b}{x^2 + 25}[/tex].

Da får du a = [tex]\frac {2} {7}[/tex] og b = - [tex]\frac{2}{7}[/tex]

Her har du spaltet opp uten å tenke deg om. Det er nemlig ikke riktig. Hr må du følge den generelle metoden. Begge er å formen x^2+a. Så:

[tex]\frac{6}{(x^2+4)(x^2+25)}=\frac{Ax+B}{x^2+4}+\frac{Cx+D}{x^2+25}[/tex]

Teller i "datterbrøken" skal være "en grad lavere" enn nevner. Slik sett er din innsigelse berettiget. Men i dette tilfelle
uteblir x-ledda, slik at

[tex]\frac{ 6 }{(x^2 + 4)(x^2 + 25)}[/tex] = [tex]\frac{2}{7}[/tex]([tex]\frac{1}{x^2 + 4}[/tex] - [tex]\frac{1}{x^2 + 25}[/tex]) ( dette kan du lett kontrollere).

Når vi intergrerer opp "datterbrøkene", får vi to arctan-integral. Det bestemte integralet mellom grensene 0 og "uendelig"
kan vi da regne ut "for hånd" og får 3*pi/70 som svar (hvilket stemmer med utregning i CAS (Geogebra)).

Gjest wrote:

OYV wrote:Delbrøkoppspalting: Sett [tex]\frac{ 6 } {(x^2 +4)(x^2 + 25)}[/tex] = [tex]\frac{ a }{x^2 + 4}[/tex] + [tex]\frac{b}{x^2 + 25}[/tex].

Da får du a = [tex]\frac {2} {7}[/tex] og b = - [tex]\frac{2}{7}[/tex]

Her har du spaltet opp uten å tenke deg om. Det er nemlig ikke riktig. Hr må du følge den generelle metoden. Begge er å formen x^2+a. Så:

[tex]\frac{6}{(x^2+4)(x^2+25)}=\frac{Ax+B}{x^2+4}+\frac{Cx+D}{x^2+25}[/tex]

Hjertelig takk for begge svar! Akkurat noe slikt jeg så etter. Løst flere oppgaver etter denne - nå går det så det suser.