matematikk.net

Length of the curve C given by x= e[sup]t[/sup]*cost, y=e[sup]t[/sup]*sint, z=t.

Deriverer for å bruke formel for buelengde, setter inn:

|C| = [rot][/rot]( (e[sup]t[/sup](cost-sint))[sup]2[/sup] + (e[sup]t[/sup](cost+sint))[sup]2[/sup] + 1 )

|C| = [rot][/rot] ( e[sup]2t[/sup]*cos2t + e[sup]2t[/sup] + 1 )

Nå har jeg stått på stedet hvil den siste halvtimen.

Du får at

[e[sup]t[/sup](cost - sint)][sup]2[/sup] + [e[sup]t[/sup](cost + sint)][sup]2[/sup] + 1
= e[sup]2t[/sup] [(cos[sup]2[/sup]t - 2cost*sint + sin[sup]2[/sup]t) + (cos[sup]2[/sup]t + 2cost*sint + sin[sup]2[/sup]t)] + 1
= 2e[sup]2t[/sup] (cos[sup]2[/sup]t + sin[sup]2[/sup]t) + 1
= 2e[sup]2t[/sup] + 1.

Fasitsvaret på denne var bortimot det styggeste jeg har sett, så det er jeg ikke interessert i.
Men det jeg lurer på er hvordan jeg skal integrere [rot][/rot] (2e[sup]2t[/sup] + 1) dt

Integralet kan nok beregnes på flere måter.
Jeg ville forsøkt med substitusjonen t=ln(sinh)/[rot][/rot]2
Eller [rot][/rot]2e[sup]t[/sup]=sinh(u) om du vil

Bruker du substitusjonen u=kvad.rot(2e[sup]2t[/sup] + 1), får du at

[itgl][/itgl]kvad.rot(2e[sup]2t[/sup] + 1)dt = [itgl][/itgl] [u[sup]2[/sup]/(u[sup]2[/sup] - 1)] du = [itgl][/itgl] 1 + 1/[2(u - 1)] - 1/[2(u + 1)] du

OK, takk til dere begge.