matematikk.net

Hei sitter og regner for harde livet og noen oppgaver stopper man opp på kunne noen være så snill og vise meg hvordan følgende gjøres: skal finne grenseverdi om de evt finnes: lim xgår mot null, på lim (Cos x)^1/x. 1/x er eksponenten, det var første grenseverdi, den andre jeg lurer på er lim, x går mot null, ln(x+1)/1-cos x , ikke lett å skrive uttrykket men ln(x+1) er i teller og 1-cos x er i nevner, skal finne grenseverdi på denne også når x går mot null,


$\lim_{x\to 0} (\cos x)^{\frac1x}$

$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(x+1)}{1-\cos x}$

Edit: - plutarco

[tex]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(x+1)}{1-cosx}[/tex]

Her kan du betrakte [tex]0^+[/tex] og [tex]0^-[/tex]

[tex]\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{ln(x+1)}{1-cosx}=\infty[/tex]

[tex]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(x+1)}{1-cosx}=-\infty[/tex]


For den andre har vi at

[tex]\lim_{x\rightarrow 0} (cosx)^\frac{1}{x}[/tex]

[tex](cosx)^\frac{1}{x}= e^{ln(cosx)^\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}ln(cosx)}[/tex]

Her kan du anvende kjerne regelen

slik at vi får

[tex]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x}ln(cosx)=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(cosx)}{x}[/tex]

Bruker L'hopitals på denne [tex]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(cosx)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-tan(x)}{1}=0[/tex]

og

[tex]\lim_{u\rightarrow 0} (e^u)=1[/tex]

Samlet sett får vi da at

[tex]\lim_{x\rightarrow 0} (cosx)^\frac{1}{x}=1[/tex]

Adg. grenseverdien ln( x + 1 ) /(1 - cos(x)) når x går mot null.

Både teller og nevner går mot null når x går mot null. For å vise at brøken "eksploderer" , må man vise at

nevner går "fortere" mot null enn teller. Også her kan man bruke L'Hopital's regel eller vi kan vise dette ved å
stille opp en rekkeutvikling for ln(x + 1 ) og cos(x).

Hei hei tusen takk for tilbakemelding, glemte å skrive at der det er eksponent 1/x . ,,,,,,skal x i eksponenten være opphøyet i 2, blir resultatet likt da. Kan du vise meg

snuff1 wrote:Hei hei tusen takk for tilbakemelding, glemte å skrive at der det er eksponent 1/x . ,,,,,,skal x i eksponenten være opphøyet i 2, blir resultatet likt da. Kan du vise meg

[tex]\lim_{x\rightarrow 0} (cosx)^\frac{1}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{1}{x^2}ln(cosx)}=e^{\lim_{x \rightarrow 0 } \frac{ln(cos(x))}{x^2}}[/tex]

Herifra bruker vi L'hopitals


[tex]e^{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(cosx)}{x^2}}=e^{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-tanx}{2x}}=e^{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{-\frac{sinx}{cosx}}{2x}}= e^{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{-sinx}{2xcos(x)}}[/tex]

Her ender vi faktisk opp med å bruke L'hopitals en tur til

[tex]e^{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{-sinx}{2xcos(x)}}=e^{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-cosx}{2(cosx-xsinx)}}=e^{\lim_{x\rightarrow 0}-\frac{cosx}{2(cosx-xsinx)}}[/tex]

Nå kan du endelig sette inn 0

[tex]e^{\frac{cos0}{2cos0-2\cdot0sin0}}=e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{e^\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}[/tex]

Grenseverdien cosx^(1/[tex]x^2[/tex]) når x går mot null.

Da må du bruke L'Hopital's regel to ganger for å få tak i grenseverdien:

2. gang : Anvender L'Hopital's regel på brøken [tex]\frac{-tan(x)}{2x}[/tex] og får -1/(cosx)^2/ 2 som går mot -1/2 når x går mot null.