matematikk.net

Noen som vet hvordan jeg bør starte her?. Jeg kan formelen for buelengde, men inni den formelen skal man bruke K'(x). Bør jeg integrere F(x) først eller finnes det et triks?

Innfører hjelpefunksjonen

g( t ) = (9t^2 - 1)^0.5

La så G( t ) være en primitiv (antiderivert) til g. Da er

F( x ) = G ( x ) - G ( 1 )

F'( x ) = G'(x) - G'( 1 ) = g( x ) = (9 x^2 - 1 )^0.5

Sett inn dette uttrykket i formelen for buelengden og integrer fra 1 til 4. Prøv denne løsningen og se om det funker.

TRCD wrote:Noen som vet hvordan jeg bør starte her?. Jeg kan formelen for buelengde, men inni den formelen skal man bruke K'(x). Bør jeg integrere F(x) først eller finnes det et triks?

bulengde.JPG

Fra analysens fundamentalteorem har vi at $F'(x) = \sqrt{9x^2 - 1}$. Dermed blir buelengden $\mathcal{L}$ lik
$$\mathcal{L} = \int_1^4\sqrt{1+F'(x)^2}dx = \int_1^4\sqrt{1 + 9x^2 - 1}dx = \int_1^43xdx = 3\left[\frac12x^2\right]_1^4 = \frac32\left[16 - 1\right] = \frac{45}{2}.$$

Takker