Solar Plexsus wrote:Du trenger ikke å derivere $T$ for å finne ekstremslpunktene ettersom $T(x)$ er en lineær funksjon i $\cos x$ og verdimengden til cosinusfunksjonen er $[-1,1]$. Følgelig har $f$ topp- og bunnpunkt hhv. når ${\cos(\frac{2\pi x}{365}) = -1}$ og ${\cos(\frac{2\pi x}{365}) = 1}$. I og med at $D_f =[1,365]$, er ${\textstyle \frac{2\pi x}{365} \in [\frac{2\pi}{365},2\pi]}$, som innebærer at liknngen ${\cos(\frac{2\pi x}{365}) = -1}$ har løsningen ${\frac{2\pi x}{365} = \pi}$ og likningen ${\cos(\frac{2\pi x}{365}) = 1}$ har løsningen ${\frac{2\pi x}{365} = 2\pi}$. Med andre ord har $f$ et toppunktet i $(182.5,17)$ og en bunnpunkt i $(365,-3)$.
Fint resonnement, men hvis oppgaven sier at man må derivere må man vel derivere likevel. Kan jeg spørre hva du mener med at funksjonen er lineær i cos x?
Angående det opprinnelige spørsmålet så må du bare løse ligningen for x på helt vanlig måte.
$0 = \dfrac{4}{73}\pi \sin \left(\frac{2\pi x}{365} \right)$
Start med å isolere uttrykk som inneholder x. Del med $\pi$ og $\frac{4}{73}$
$0 = \sin \left(\frac{2\pi x}{365} \right)$
Ta invers av sinus for å løsne x fra funksjonen. Det du egentlig finner nå er hvilken vinkel du må ha for at sinus skal være 0.
$sin^{-1}(0) = \dfrac{2 \pi x}{365}$
Her er litt fin forståelse før vi fortsetter:
Husk at sinus er en periodisk funksjon. Dette betyr at det er flere vinkler enn bare en som gjør at sinus blir 0. Husk på enhetssirkelen. Sinus er 0 når y=0. Hvor på sirkelen er det og hvilke tilhørende vinkler er det når y=0? Det er to steder, et ved 0 grader og et ved $\pi$ grader (dette tilsvarer 180 grader eller en halv sirkel). Men om du tar 0 runder eller 1 runde med sirkelen ender du fortsatt opp på samme sted sant? Det samme gjelder hvis du tar en halv eller en og en halv runde. Sinus er det man kaller $2\pi$ periodisk som vil si at den gjentar seg selv etter en runde på $2 \pi$ og i det uendelige. Dette må vi ha med i matematikken. Vi sier at n er antall perioder (hele runder) 1, 2, 3.. (eller negativt).
I tillegg til at vi kan få 0 ved å gå en halv gang rund sirkelen ($\pi$) kan vi komme til samme verdi ved å gå andre veien (-\pi). Vi må ha med disse verdiene også som også er $2 \pi$-periodiske.
Du får med andre ord to alternativ ved å gå med eller mot klokka:
$vinkel = 0+2 \pi n$ eller $vinkel = 0-n + 2\pi n$
Som er det samme som
$vinkel = 2 \pi, 4\pi, 6\pi ...$ eller $vinkel = \pi, 3\pi, 5\pi...$
En enklere måte å skrive dette på er rett og slett $vinkel = \pi n$. Da slår vi sammen uttrykkene.
$\dfrac{2 \pi x}{365} = \pi n$
Gang med $365$ og del med $2 \pi$
$x = 182,5 n$
Nå vet du at x bare kan være 1, 365 eller et tall i mellom. I tillegg vet du at x må være $... - 365, -182,5, 0, 182,5, 365 ...$ for å ha null stigning (ekstremalpunkt). Så er det bare å matche det du vet.
