matematikk.net

Jeg har fått en nøtt av en matteoppgave å bryne med på. Den lyder som følger:
"En vanntak har form som en kjegle med spissen ned. Radius i toppflaten er 10m og høyden er 8m.
Tanken fylles med 100L vann i minuttet.
Hvor raskt stiger vannstanden i tanken når vannstanden er 4,0m?"

Planen min hittil har vært å finne volumet av hele kjeglen, samt volumet av kjeglen opp til 4m, for så å bruke
forskjellen mellom disse til å regne ut hastigheten vannet stiger med.
Volumet av hele kjeglen får jeg til å bli [tex]\frac{800\pi }{3}[/tex]


Problemet jeg per nå har støtt på er at jeg ikke har radius til toppflaten av kjeglen med høyde 4m.
Hvordan finner jeg denne kjeglens radius?

Om noen skulle ha et forslag til å løse oppgaven på en helt annen måte, mottas disse forslagene med stor takk!

Problemet jeg per nå har støtt på er at jeg ikke har radius til toppflaten av kjeglen med høyde 4m.
Hvordan finner jeg denne kjeglens radius?

her kan du bruke rettvinkla og formlike trekanter.

Ellers er denne relasjonen viktig:

[tex]\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}*\frac{dh}{dt}=100\,(l/min)[/tex]

Må finne volumet V = V(h) der h er vannstanden i kjegla.

La r(h) være radien ved overflata. Da er

r(h)/h = 10/8 = 5/4 som gir r(h) = 5/4 * h

Volum vann V(h) = pi * r(h)^2 * h = 25* pi/16 * h^3 .

Da får vi dV/dh = 75pi/16 * h^2

Hintet i forrige innlegg gir

dh/dt = dV/dh /dV/dt = 75pi/16 * h^2 /100l/min .

Sett h = 4 m = 40 dm i uttrykket overnfor og du har svaret.

OYV wrote:Må finne volumet V = V(h) der h er vannstanden i kjegla. La r(h) være radien ved overflata. Da er
r(h)/h = 10/8 = 5/4 som gir r(h) = 5/4 * h
Volum vann V(h) = pi * r(h)^2 * h = 25* pi/16 * h^3 .
Da får vi dV/dh = 75pi/16 * h^2
Hintet i forrige innlegg gir
dh/dt = dV/dh /dV/dt = 75pi/16 * h^2 /100l/min .
Sett h = 4 m = 40 dm i uttrykket overnfor og du har svaret.

husk volum av kjegle:

[tex]V=\frac{\pi r^2h}{3}[/tex]

Elementær kunnskap. Takk for tipset !

Samtidig benytter jeg anledningen til å rette opp en annen feil i min utregning:

d(h)/d(t) = d(V)/d(t) : d(V)/d(h)

Alternativ løsning: Slik jeg tolker oppgaveteksten, er det ikke noe krav at problemet skal løses ved differensialregning.

Da er det nok å finne arealet av vannyta når vannstanden er 4m ( 40 dm ).

Set at radien ved overflata er x dm når vannstanden er 40 dm. Da har vi

x/40 = 10/8 = 5/4 som gir x = 40*5/4 = 50

Arealet av overflata = pi *(50)^2 dm[tex]^2[/tex] = 7850 dm[tex]^2[/tex]

Stigning i vannstanden per minutt = 100 dm[tex]^3[/tex]/ min /7850 dm[tex]^2[/tex] = 0.0127 dm/min = 1.3 mm/min