TRCD wrote:Hei. Skal vise om sin(1/x) konvergerer eller ikke i intervallet [1,uendelig]. Vet at man kun trenger å vise om integralet sin(1/x) eksisterer og gir et svar. Har prøvd å integrere det, men klarte det ikke. Søkte på nettet og der sier det også at det divergerer. Hvordan bør man sette opp svaret i innleveringen?
Er ikke sikker på om jeg forstår deg riktig, men er det altså
[tex]\sum_{x=1}^{\infty} sin\left (\frac{1}{x} \right )[/tex] du skal finne ut om konvergerer, for isåfall kan du bruke sammenlikningtesten.
Vi vet at [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}[/tex] divergerer, og bruker dette som basis for sammenlikningen.
Hvis [tex]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}=k, 0<a_n, b_n[/tex] så vet vi at hvis [tex]0<k<\infty[/tex] så konvergerer eller divergerer begge, og iogmed at serien der oppe divergerer må vi sjekke om grensa til sin(1/x)/(1/x) er et tall større enn null men mindre enn uendelig.
[tex]\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{sin\left ( \frac{1}{x} \right )}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{-\frac{1}{x^2}cos(\frac{1}{x})}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x \rightarrow \infty } cos(\frac{1}{x})=cos(\frac{1}{\infty})=cos(0)=1[/tex]
Det viserer seg at [tex]0<k<\infty[/tex] og dermed divergerer det i henhold til sammenlikningtesten
