matematikk.net

Noen som har forslag/løsning på denne:

Find the image of the set

[tex]D=\{z|\,Re(z) < 0, |Im(z)|< \pi\}[/tex]

under the exponential map
[tex]f(z)=e^z[/tex]

Janhaa wrote:Noen som har forslag/løsning på denne:

Find the image of the set

[tex]D=\{z|\,Re(z) < 0, |Im(z)|< \pi\}[/tex]

under the exponential map
[tex]f(z)=e^z[/tex]

La $z\in D.$ Da har vi at $z = x + iy$, der $x,y\in\mathbb{R}, x<0, -\pi < y < \pi.$
Dermed ser vi at $e^z = e^{x+iy} = e^x e^{iy}$, som altså representerer et komplekst tall (på polarform) $e^z = re^{i\theta}$ med $0<r<1$, $-\pi < \theta < \pi$. Altså er verdimengden gitt ved $\{z\in\mathbb{C} :\text{ } |z| < 1\} \setminus \left(-1,0\right] = \mathbb{D}^2\setminus\left(-1,0\right].$.

EDIT: Liten slurvefeil

DennisChristensen wrote:Altså er verdimengden gitt ved {x∈C: |z|<1,Re(z)>0}

For meg ser det ut til at verdimengden blir [tex]\{z\in \mathbb{C}: |z|<1 \mbox{ og } Im(z)\ne 0 \mbox{ når } Re(z)\leq 0\}.[/tex]

fish wrote:

DennisChristensen wrote:Altså er verdimengden gitt ved {x∈C: |z|<1,Re(z)>0}

For meg ser det ut til at verdimengden blir [tex]\{z\in \mathbb{C}: |z|<1 \mbox{ og } Im(z)\ne 0 \mbox{ når } Re(z)\leq 0\}.[/tex]

Selvsagt helt riktig! Slurvet litt med vinkelutslagene. Endret det nå.

Takk til begge to, korte konsise forklaringer.