matematikk.net

Hei

Holder på med en oppgave om å finne tangentvektor (med lengde 1) mellom en kuleflate og et plan i punktet a = (1/sqrt(6), 1/sqrt(6), -2/sqrt(6)) som er som følger:

[tex]x^{2}+y^{2}+z^{2} = 1[/tex]

og plan:

[tex]x+y+z=0[/tex]

Ved å finne gradientvektoren til kuleflaten som <2x, 2y, 2z> og gradientvektoren til planet som <1, 1, 1> og deretter sette inn for (1/sqrt(6), 1/sqrt(6), -2/sqrt(6)) i vektoren og deretter normalisere til lengde 1 får jeg at enhetstangentvektoren er <1/sqrt(2), -1/sqrt(2), 0>, er dette feil?

Takk på forhånd!

Mstrom wrote:Hei

Holder på med en oppgave om å finne tangentvektor (med lengde 1) mellom en kuleflate og et plan i punktet a = (1/sqrt(6), 1/sqrt(6), -2/sqrt(6)) som er som følger:

[tex]x^{2}+y^{2}+z^{2} = 1[/tex]

og plan:

[tex]x+y+z=0[/tex]

Ved å finne gradientvektoren til kuleflaten som <2x, 2y, 2z> og gradientvektoren til planet som <1, 1, 1> og deretter sette inn for (1/sqrt(6), 1/sqrt(6), -2/sqrt(6)) i vektoren og deretter normalisere til lengde 1 får jeg at enhetstangentvektoren er <1/sqrt(2), -1/sqrt(2), 0>, er dette feil?

Takk på forhånd!

Man kan enkelt sjekke om dette er riktig svar eller ikke. La $\mathbf{t} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right).$ Vi må sjekke at $\mathbf{t}$ tangerer kula og planet, og har lengde $1$:

Ettersom $$\mathbf{t}\cdot\left(x,y,z\right)\large |_a = \mathbf{t}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{2}}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{2\sqrt{3}} - \frac{1}{2\sqrt{3}} = 0\text{ }\checkmark$$ $$\mathbf{t}\cdot\left(1,1,1\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)\cdot\left(1,1,1\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = 0\text{ }\checkmark$$ $$|\mathbf{t}| = \sqrt{\frac12+ \frac12 + 0} = 1\text{ }\checkmark$$ ser du at du har fått riktig svar.