matematikk.net

Hei!

Jeg jobber med en oppgave hvor jeg skal finne Laurentserien av følgende funksjon rundt punktet [tex]z = 0[/tex]:

[tex]f(z) = \frac{1}{z^{5}(1+z)}[/tex].

Aller først observerer jeg at funksjonen kan skrives som følgende

[tex]f(z) = \frac{1}{z^{5}(1+z)} = \frac{1}{z^{5}} \frac{1}{(1-(-z))} = \frac{1}{z^{5}} \sum_{n=0}^{\infty}(-z)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}z^{n-5}[/tex].

Dermed har jeg en Laurentrekke om [tex]z = 0[/tex] med konvergensradius [tex]\left|z \right|<1[/tex]. Jeg sitter derimot fast på hvordan jeg skal gå frem for å finne rekken for [tex]\left| z \right| > 1[/tex]. Er det noen som har noen gode tips?

ErikAndre wrote:Hei!

Jeg jobber med en oppgave hvor jeg skal finne Laurentserien av følgende funksjon rundt punktet [tex]z = 0[/tex]:

[tex]f(z) = \frac{1}{z^{5}(1+z)}[/tex].

Aller først observerer jeg at funksjonen kan skrives som følgende

[tex]f(z) = \frac{1}{z^{5}(1+z)} = \frac{1}{z^{5}} \frac{1}{(1-(-z))} = \frac{1}{z^{5}} \sum_{n=0}^{\infty}(-z)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}z^{n-5}[/tex].

Dermed har jeg en Laurentrekke om [tex]z = 0[/tex] med konvergensradius [tex]\left|z \right|<1[/tex]. Jeg sitter derimot fast på hvordan jeg skal gå frem for å finne rekken for [tex]\left| z \right| > 1[/tex]. Er det noen som har noen gode tips?

$|z| > 1$: $$f(z) = \frac{1}{z^5(1+z)} = z^{-5}\frac{1}{1+z} = z^{-6}\frac{1}{\frac{1}{z} + 1} = z^{-6}\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{z}\right)} = z^{-6}\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{z}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n z^{-n-6}.$$

Selvfølgelig, tusen takk skal du ha!