matematikk.net

Hei! Jeg driver for tiden og jobber meg gjennom R1 vha. Thue videoer og Sinus R1 på egenhånd. Det er noen oppgaver jeg har slitt litt med som jeg håpte noen kunne hjelpe meg litt med.
Jeg tar med oppgavenummer, men dette referer da til Sinus R1. Jeg legger også ved et bilde av den aktuelle oppgaven bak oppgavenummeret.

A) 1.32) b) https://i.imgur.com/k0fzyVw.jpg
Jeg har startet slik: https://i.imgur.com/xttpWSt.jpg
På 2) ville jeg vanligvis brukt metoden Thue lærer bort for kontrapositivt bevis, slik: https://i.imgur.com/o33Kncg.jpg. Men når jeg ser i fasiten (https://i.imgur.com/K0YB3Fk.png) ser jeg at de har brukt en helt annen fremgangsmåte som jeg ikke skjønner i det hele tatt. Slik jeg tolker det ut i fra teksten gjør de dette (https://i.imgur.com/vZuoZ6h.jpg) direkte beviset. Men jeg skjønner ikke hvorfor det blir riktig. Er det noen som kan utdype litt hvorfor man kan gjøre det slik?

B) 1.137) b) https://i.imgur.com/A5PnP6R.jpg
Denne har jeg forsøkt å løse slik: https://i.imgur.com/9HjbQZY.jpg. Men det jeg egentlig gjør da er vel å utføre et bevis som baserer seg på en selvmotsigelse, det er vel ikke det samme som et indirekte bevis/kontrapositivt bevis som jeg får beskjed om å bruke i oppgaven? Men jeg klarer ikke å komme på en annen måte å løse denne oppgaven på og håpte noen her kunne gi en pekepinn.

C) 1.139) b) c) https://i.imgur.com/pjVzzVG.jpg
Denne gikk det fin å løse, men er fortsatt noe jeg lurer på.
b) Er det noe hensikt med denne oppgaven? Eller sagt på en annen måte, hva er det man skal lære av denne oppgaven?
c) Her prøvde jeg meg egentlig bare frem med tall som var større enn 40 til jeg kom til f(41)=1681 for å så sjekke om 1681 var et primtall ved å dele på 2-40. Spørsmålet mitt er om det er noen metode å finne om 1681 er et primtall eller ikke på en raskere måte (for hånd)?

D) 1.153) c) https://i.imgur.com/cUN5pHb.jpg
Her har jeg egentlig ingen ide om hvordan jeg skal gå frem. Noen tips?

E) 2.170) c) https://i.imgur.com/SsWiS4S.jpg
Denne har jeg løst slik: https://i.imgur.com/TH2vRIk.jpg og jeg har fått riktig svar. Men det er to ting jeg lurer på:
1) Burde jeg egentlig hatt en markør på 0 for å vise at verdien ikke kan bli mindre? For i det originale uttrykket er det jo "ln x", da kan vel ikke x-verdien være mindre enn null?
2) Er det jeg har gjort riktig utført ellers?

turbobjørn wrote:Hei! Jeg driver for tiden og jobber meg gjennom R1 vha. Thue videoer og Sinus R1 på egenhånd. Det er noen oppgaver jeg har slitt litt med som jeg håpte noen kunne hjelpe meg litt med.
Jeg tar med oppgavenummer, men dette referer da til Sinus R1. Jeg legger også ved et bilde av den aktuelle oppgaven bak oppgavenummeret.

A) 1.32) b) https://i.imgur.com/k0fzyVw.jpg
Jeg har startet slik: https://i.imgur.com/xttpWSt.jpg
På 2) ville jeg vanligvis brukt metoden Thue lærer bort for kontrapositivt bevis, slik: https://i.imgur.com/o33Kncg.jpg. Men når jeg ser i fasiten (https://i.imgur.com/K0YB3Fk.png) ser jeg at de har brukt en helt annen fremgangsmåte som jeg ikke skjønner i det hele tatt. Slik jeg tolker det ut i fra teksten gjør de dette (https://i.imgur.com/vZuoZ6h.jpg) direkte beviset. Men jeg skjønner ikke hvorfor det blir riktig. Er det noen som kan utdype litt hvorfor man kan gjøre det slik?

B) 1.137) b) https://i.imgur.com/A5PnP6R.jpg
Denne har jeg forsøkt å løse slik: https://i.imgur.com/9HjbQZY.jpg. Men det jeg egentlig gjør da er vel å utføre et bevis som baserer seg på en selvmotsigelse, det er vel ikke det samme som et indirekte bevis/kontrapositivt bevis som jeg får beskjed om å bruke i oppgaven? Men jeg klarer ikke å komme på en annen måte å løse denne oppgaven på og håpte noen her kunne gi en pekepinn.

C) 1.139) b) c) https://i.imgur.com/pjVzzVG.jpg
Denne gikk det fin å løse, men er fortsatt noe jeg lurer på.
b) Er det noe hensikt med denne oppgaven? Eller sagt på en annen måte, hva er det man skal lære av denne oppgaven?
c) Her prøvde jeg meg egentlig bare frem med tall som var større enn 40 til jeg kom til f(41)=1681 for å så sjekke om 1681 var et primtall ved å dele på 2-40. Spørsmålet mitt er om det er noen metode å finne om 1681 er et primtall eller ikke på en raskere måte (for hånd)?

D) 1.153) c) https://i.imgur.com/cUN5pHb.jpg
Her har jeg egentlig ingen ide om hvordan jeg skal gå frem. Noen tips?

E) 2.170) c) https://i.imgur.com/SsWiS4S.jpg
Denne har jeg løst slik: https://i.imgur.com/TH2vRIk.jpg og jeg har fått riktig svar. Men det er to ting jeg lurer på:
1) Burde jeg egentlig hatt en markør på 0 for å vise at verdien ikke kan bli mindre? For i det originale uttrykket er det jo "ln x", da kan vel ikke x-verdien være mindre enn null?
2) Er det jeg har gjort riktig utført ellers?

A) $x \quad odde \Leftarrow x^3 \quad odde$: Bevis ved motsigelse: La $x^3$ være odde. Anta at x er partall. Fra forrige deloppgave vet vi at da må $x^3$ være partall, hvilket motsier premisset om at $x^3$ er odde. Ergo må x være odde.

B) Bevis ved motsigelse er et indirekte bevis. Beviset ditt ser riktig ut.

C) Poenget med oppgaven er å skjønne at det polynomet ikke kan gi et primtall for alle heltallige verdier av x man putter inn. Du ser umiddelbart at x=41 gir et sammensatt tall ved å faktorisere. En mer fundamental problemstilling er om det finnes polynomer med heltallige koeffisienter som gir primtall for alle heltall man putter inn som argument. Svaret på dette mer generelle og grunnleggende spørsmålet er "nei". Du kan lese mer om dette her http://mathworld.wolfram.com/Prime-Gene ... omial.html

$f(x)=x^2-x+41$ , så $f(41)=41^2-41+41=41^2$, altså ikke primtall siden det kan faktoriseres i to tall større enn 1. Moralen er at du ikke alltid bør gange ut uttrykk. Se an hva oppgaven spør etter først.

Edit: problemstillingen er litt "overpedagogisk" etter mitt skjønn: jeg vil tro det er en forsvinnende liten andel av vgs-elever som vil ha noe utbytte av denne oppgaven slik den er postet, selv om jeg selvsagt forstår intensjonen til de som har lagd oppgaven. Jeg synes personlig de ikke har lyktes særlig godt her, men det er en helt annen historie.

D) $P(x)=(x^2-a)(x-a)$. Spørsmålet er for hvilke verdier av a man kan faktorisere $x^2-a$. Det er ekvivalent med å spørre om for hvilke verdier av $a$ ligningen $x^2-a=0$ har (reelle) løsninger. Svaret er for alle reelle $a\geq 0$. Nøkkelen er faktorteoremet: https://en.wikipedia.org/wiki/Factor_theorem

E) Ser rett ut

Gustav wrote:

turbobjørn wrote:A) 1.32) b) https://i.imgur.com/k0fzyVw.jpg
Jeg har startet slik: https://i.imgur.com/xttpWSt.jpg
På 2) ville jeg vanligvis brukt metoden Thue lærer bort for kontrapositivt bevis, slik: https://i.imgur.com/o33Kncg.jpg. Men når jeg ser i fasiten (https://i.imgur.com/K0YB3Fk.png) ser jeg at de har brukt en helt annen fremgangsmåte som jeg ikke skjønner i det hele tatt. Slik jeg tolker det ut i fra teksten gjør de dette (https://i.imgur.com/vZuoZ6h.jpg) direkte beviset. Men jeg skjønner ikke hvorfor det blir riktig. Er det noen som kan utdype litt hvorfor man kan gjøre det slik?

D) 1.153) c) https://i.imgur.com/cUN5pHb.jpg
Her har jeg egentlig ingen ide om hvordan jeg skal gå frem. Noen tips?

A) $x \quad odde \Leftarrow x^3 \quad odde$: Bevis ved motsigelse: La $x^3$ være odde. Anta at x er partall. Fra forrige deloppgave vet vi at da må $x^3$ være partall, hvilket motsier premisset om at $x^3$ er odde. Ergo må x være odde.

D) $P(x)=(x^2-a)(x-a)$. Spørsmålet er for hvilke verdier av a man kan faktorisere $x^2-a$. Det er ekvivalent med å spørre om for hvilke verdier av $a$ ligningen $x^2-a=0$ har (reelle) løsninger. Svaret er for alle reelle $a\geq 0$. Nøkkelen er faktorteoremet: https://en.wikipedia.org/wiki/Factor_theorem

Hei igjen og takk for svar. Det er fortsatt to oppgaver jeg lurer litt på.

A) I 1.32) a) beviser jeg jo

"x er et partall <--> x^3 er et partall" ved å bevise

1) x er et partall --> x^3 er et partall (direkte)

2) x^3 er et partall --> x er et partall (kontrapositivt med Thue metoden)

I oppgave b) skal jeg gjøre det samme for oddetall, men prøve å ikke prøve Thue metoden på 2). Men slik jeg tolker svaret ditt vil det oppskrevet bli slik: https://i.imgur.com/wKhIZsQ.jpg. Men jeg klarer fortsatt ikke å skjønne at det er bevist av den grunn. I mitt hode skulle det isåfall vært slik: https://i.imgur.com/RQdloXb.jpg
Eneste forandringen jeg har gjort er å flytte koeffisienten i parentesen).

D) Jeg har løst a) og b) fra før av slik: https://i.imgur.com/v6iNrMS.jpg. Men jeg klarer ikke helt å skjønne hvordan det du foreslo skal hjelpe meg med c), kan du kanskje prøve å forklare på en litt annen måte?

Vi skal vise at dersom $x^3$ er oddetall, så er $x$ oddetall.


1. Bevis ved motsigelse: Anta det motsatte, dvs. $x^3$ odde $\Rightarrow$ $x$ partall. Siden vi fra oppgave a) vet at dersom $x$ er partall må $x^3$ være partall, noe som motsier premisset om at $x^3$ er oddetall. Ergo følger implikasjonen vi skulle bevise. QED

2. Kontrapositivt bevis: Vi må vise at $x$ ikke odde $\Rightarrow x^3$ ikke odde. Dette er ekvivalent med å vise at $x$ partall $\Rightarrow x^3$ partall. Noe vi har bevist i oppgave a). QED


På den andre oppgaven ville jeg bare først prøvd å sette inn ulike verdier for a, for på den måten å få innsikt i hva som skjer med $x^2-a$.

a=0 gir kun $x^2$ som har ett nullpunkt, nemlig x=0. P(x) får da tre faktorer av grad 1.

a=-1 gir $x^2+1$, som er større enn 0 for alle x-verdier vi setter inn. Derfor har det ingen nullpunkter, og kan ikke faktoriseres. P(x) får da én faktor av grad 1 og én faktor av grad 2.

a=4 gir $x^2-4=(x-2)(x+2)$. P(x) får da tre faktorer av grad 1.

Vi ser etterhvert at dersom $a$ er negativt, så kan ikke x^2-a faktoriseres (P(x) har da én faktor av grad 1 og én faktor av grad 2), mens dersom a er positivt kan vi faktorisere $x^2-a=(x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})$ (P(x) får da tre faktorer av grad 1: $(x-a), (x-\sqrt{a}),(x+\sqrt{a})$)