matematikk.net

Hei. Trenger virkelig hjelp med disse oppgavene!

En dansegruppe slår seg sammen om et spareprosjekt. Prosjektlederne legger fram følgende forslag:
Hver av de 38 medlemmene skal 6 ganger betale 1000 kr inn på en bankkonto med fastrente 5 %.
Dette skal de gjøre i begynnelsen av hvert år fra og med 2011 til og med 2016, altså 1000 kr per medlem per år.

a Hvor mye står det på kontoen i begynnelsen av 2017 hvis dette forslaget blir gjennomført? (svar:271 396 kr)


Inger mener at spareplanen er for defensiv og foreslår at hvert medlem skal betale 6 ganger (det samme som i den opprinnelige planen), men at innskuddsbeløpet øker med 10 % hvert år.
Første gang skal hvert medlem også nå sette inn 1000 kr hver på kontoen.
Renten er fortsatt 5 % per år.

b Hvor mye står det på kontoen i begynnelsen av 2017 hvis Ingers forslag blir gjennomført? (svar:344 309 kr)


c Siri tar opp et lån på 3,75 millioner til kjøp av bolig. Banken har fastrente på 8 %. Lånet skal tilbakebetales med 15 årlige og faste beløp, og første innbetaling skal skje akkurat 2 år etter at lånet ble tatt opp.

Finn terminbeløpet.

svaret er: 473 160

For oppgave a) kan vi løse med enkel algoritme (bedre egnet for å gjøres på datamaskin i grunn).

La oss definere summen vår for [tex]s[/tex].

Vi har at renten er på 5% så vi kan kalle den for [tex]r = 0.05[/tex].
Vi skal gjøre samme regneoperasjon over 6 år så total tid [tex]t = 6[/tex].
Vi definerer innskuddet som [tex]i = 38\cdot1000 = 38000[/tex]

Vi kan følgelig løse oppgaven slik:

[tex]s = 0[/tex]

for [tex]t = 1,2,3,4,5,6[/tex] (6 repetisjoner)
[tex]\qquad s = s + i[/tex]
[tex]\qquad s = s \cdot r = s\cdot0.05[/tex]

Rask forklaring: Du øker summen din [tex]s[/tex] med 38000 hvert år. Så multipliserer du den nye summen [tex]s[/tex] med renten [tex]r = 0.05[/tex] og plusser på dette. Dette gjør du 6 ganger.

Oppgave b)

Her skal vi øke innskuddet med 10 % per år, men ellers er utregningene identiske. Vi sier at vekstfaktoren til innskuddet er gitt ved [tex]v = 1 + 0.10 = 1.10[/tex].

Da har vi at

[tex]s = 0[/tex]

for [tex]t = 1,2,3,4,5,6[/tex] (6 repetisjoner)
[tex]\qquad Hvis \; t = 1[/tex] er [tex]i = 38000[/tex]
[tex]\qquad Hvis \; t > 1[/tex] er [tex]i_t = i_{t-1}*1.10[/tex]
[tex]\qquad s = s + i[/tex]
[tex]\qquad s = s \cdot r = s\cdot0.05[/tex]

Altså, vi starter med at summen [tex]s = 0[/tex]. Vi setter inn [tex]i = 38000[/tex] det første året, altså når [tex]t = 1[/tex].

Neste repetisjon tar du innskuddet fra forrige runde og multipliserer dette med vektsfaktoren $v$. Da blir det nye innskuddet $ i_t = i_{t-1}\cdot 1.10$. Så repeterer du dette til du har nådd $t = 6$ år.

Oppgave c)

Når det gjelder oppgave c) kommer jeg til å bruke teknikker som ikke undervises i vgs. Det du beskriver kan nemlig settes opp som en inhomogen differenslikning som egentlig er ganske enkelt å løse. Jeg forklarer løsningsmetoden underveis siden dette ikke er vanlig å kunne i vgs.

Vi kaller startlånet for [tex]K[/tex]. Siden det tilbakebetalinger ikke begynner før etter 2 år, vil lånet være på $K\cdot(1.08)^2 = 3.75\cdot10^6\cdot(1.08)^2 = 4.374\cdot10^6 \ kr$

La oss kalle kalle lånet som gjenstår fra om med år 2 og utover med $L$. Da har vi at $L_{0} = 4.374\cdot10^6 \ kr$ der indeksen $0$ refererer til at vi har år $0$.

Hvordan vil lånet se ut ved år 1, dvs hva er [tex]L_1[/tex] lik? Det vil bli følgende:

$L_1 = (L_0 - T)\cdot 1.08$ fordi vi trekker fra terminbeløpet $T$ fra det totale lånet og deretter øker vi resten av lånet med rentene på 8 %.

La oss se hva $L_2$ blir:

$L_2 = (L_1-T) \cdot 1.08$

Sånn vil det repetere seg, så vi kan skrive opp det generelle uttrykket:

$L_{n+1} = (L_n -T)\cdot1.08$

Dette er en førsteordens inhomogen differenslikning. Vi ser at vi egentlig har en følge her gitt ved $L_1, L_2, L_3 ..., L_n$. Vi kan finne et generelt uttrykk som gir oss et hvilket som helst ledd $n$ i følgen, dvs vi kan finne $L_n$.

Vi skriver om differenslikningen litt:

$L_{n+1} = 1.08L_n - 1.08T$

$L_{n+1} - 1.08L_n = -1.08T$

Det viser seg at løsningen av en slik inhomogen førsteorden differenslikning er gitt ved $L_n = L_{n}^h + L_{n}^p$ der $h$ og $p$ ikke er eksponenter, men "merkelapper" som forteller oss at de er en homogen løsning og partikulær løsning.

Først finner vi den homogene løsningen:

Da ser vi bare på den homogene varianten av differenslikningen $L_{n+1} - 1.08L_n = 0$

Vi ser at $L_{n+1} = 1.08L_n$. Dette betyr at [tex]L_n = 1.08L_{n-1},\: L_{n-1} = 1.08L_{n-2},\: ...,\: L_1 = 1.08C[/tex].

Dermed må $L_n$ være gitt ved

$L_{n} = 1.08L_{n-1} = 1.08\cdot1.08L_{n-2} = ... = (1.08)^nC$ der $C$ er en konstant. Denne konstanten kan vi bestemme lett fordi vi vet at $L_0 = 4.374\cdot10^6$.

Men vi kommer ikke til å trenge å vite eksakt hva $C$ er for noe for å finne terminbeløpet $T$ senere.

Vi har altså fått en løsning på den homogene differenslikningen $L_{n}^h = (1.08)^nC$.

For å finne den partikulære løsningen gjetter vi på en løsning av samme type som er i den inhomogene differenslikningen. Vi ser at den er konstant fordi høyresiden av likningen er $-1.08T$. Dermed gjetter vi på at
vår partikulære løsningen $L_{n}^p$ er gitt ved $L_{n}^p = A$ der $A$ er en konstant.

Vi setter så $L_{n}^p$ inn i den inhomogene differenslikningen:

$L_{n+1} - 1.08L_n = -1.08T$

$L_{n+1}^p - 1.08L_{n}^p = -1.08T$

$A - 1.08A = -1.08T$

$A = \frac{-1.08}{-0.08}T = 13.5T$

Dermed er den generelle løsningen på problemet vårt:

$L_n = L_{n}^h + L_{n}^p = (1.08)^nC + 13.5T$.

Nå må vi løse et likningssett. Vi vet at $L_0 = 4.374\cdot10^6$ og at $L_{15} = 0$ (fordi lånet skal være tilbakebetalt etter 15 år).

Vi får da at

[tex]L_0 = (1.08)^0C + 13.5T = 4.374\cdot10^6[/tex]

[tex]L_{15} = (1.08)^{15}C + 13.5T = 0[/tex]

Vi ser at fra den første likningen at $ C = 4.374\cdot10^6 - 13.5T$. Vi setter dette inn i den andre og får

[tex](1.08)^{15}\big[4.374\cdot10^6 - 13.5T\big] + 13.5T = 0[/tex]

[tex](1.08)^{15}\cdot4.374\cdot10^6 - (1.08)^{15}\cdot13.5T + 13.5T = 0[/tex]

Med litt mikking og makking får vi da at

[tex]T = \frac{-(1.08)^{15}\cdot4.374\cdot10^6}{13.5-13.5\cdot(1.08)^{15}} = 473159.65 \approx 473160 \ kr[/tex]


Som jeg sa til å begynne med vet jeg at differenslikninger ikke er pensum i vgs, men det er et nyttig verktøy som ikke er så utrolig vanskelig å bruke på mange problemstillinger av den typen her, så det er definitivt verdt å lære seg. På engelsk kalles det gjerne difference equation eller recurrence relation. Den typen vi har løst her kalles spesifikt for en lineær inhomogen førsteordens differenslikning.

Etter litt tenking kan du også løse problemet med en formelen for summen av en geometrisk rekke:

Vi kaller terminbeløpet for $T$. Da har vi at

[tex]S_n = 1.08T\frac{(1.08)^n-1}{1.08-1} = 1.08T\frac{(1.08)^n-1}{0.08}[/tex]. Der [tex]k = 1.08[/tex] er kvotienten i den geometriske rekken.

Denne finner vi lett ved å ta $ \frac{L_{n+1}}{L_n} = 1.08 = k $ (se formelen fra forrige post).

Vi setter opp en enkel likning for $S_{15} = 1.08T\frac{(1.08)^{15}-1}{0.08} = 4.734\cdot10^6\cdot(1.08)^{15}$.

Så løser vi likningen

[tex]T = \frac{4.374\cdot10^6\cdot(1.08)^{15}\cdot0.08}{\big((1.08)^{15}-1\big)\cdot1.08} \approx 473160 \ kr[/tex]

Minner om at S2-eksamen består av Del1 ( 3 timer ) hvor ingen hjelpemiddel er tillatt og Del2 ( 2 timer ) hvor alle hjelpemiddel er tillatt.

Ovennevnte oppgave tilhører den siste kategorien og her er det at CAS-verktøyet kommer til sin rett.

Vedk. oppgave b:

Samlet innbetaling 1. termin: 38000 kr

Samlet innbetaling 2. termin: 38000[tex]\cdot[/tex]1.1 kr
.
.

Samlet innbetaling 6. termin: 38000[tex]\cdot[/tex]1.1^(6 - 1 ) = 38000[tex]\cdot[/tex]1.1^5


Siste (6. innbetaling ) har vakse til : 38000[tex]\cdot[/tex]1.1^5 [tex]\cdot[/tex]1.08^1 = 38000*1.1^(6 - 1)*1.08^(7 - 6)

1. innbetaling har vakse til: 38000 [tex]\cdot[/tex]1.08^6 = 38000*1.1^(1 - 1 )*1.08^(7 - 1)

Innbetaling nr. i har vakse til : 38000[tex]\cdot[/tex]1.1^(i - 1)[tex]\cdot[/tex]1.08^(7 - i )

Til gode ett år etter siste innbetaling: SUM = 38000 * sum(uttrykk , variabel , start , slutt )

= 38000 * sum(1.1^(i - 1)* 1.08^(7 - i ), i , 1 , 6 )

Moral: CAS-verktøyet gjør "jobben" i en enkelt regneoperasjon.

For oppgave b kan man løse med summeformel for en geometrisk rekke.

Vi får en følge som ser slik ut: $38000 \cdot (1.05)^6 , \ 38000 \cdot 1.1 \cdot (1.05)^5 , \ ... ,\ 38 000 \cdot 1.1^5$

Vi kan derfor beregne kvotienten $k$ ved

[tex]k = \frac{38000\cdot1.1\cdot(1.05)^5}{38000 \cdot (1.05)^6} = \frac{1.1}{1.05}[/tex]

Vi har at første ledd $a_1 = 38000\cdot(1.05)^6$.

Vi bruker summeformelen $S_n = a_1\frac{k^n-1}{k-1}$ og får at


$S_6 = 38000\cdot(1.05)^6 \cdot \frac{(\frac{1.1}{1.05})^6-1}{\frac{1.1}{1.05}-1} \approx 344 309 \ kr$

Tilsvarende, men noe enklere beregninger kan gjøre i oppgave a.

Trenger du finansiering * Forretningslån * Personlige lån uten stress og rask godkjenning? Vi tilbyr lån til lav rente, for mer informasjon kontakt oss via e-post: kw007042@gmail.com eller WhatsApp; +12677251259

Mitt råd : Bruk Sum- funksjonen i CAS( Geogebra )

Løysing punkt a:

Inneståande pr. 1. januar 2017 = 38000 * Sum( 1.05^i , i , 1 , 6 ) = .................. ( prøv sjølv )