matematikk.net

Hei!

Sliter litt med en oppgave om bevis av pytagorassetningen. Vi har gitt trekanten(e) nedenfor, og skal fullføre beviset med formlikhet.
Men de trekantene det blir tatt utgangspunkt i fasiten er jo ikke 90-graders trekanter. Hvordan kan de da bruke disse?

I fasiten står det: "Vi bruker at forholdet mellom tilsvarende sider i de formlike trekantene ∆ACD og ∆AEC er konstant."

I løsningsforslaget blir formlikhet for disse sidene nyttet: [tex]\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{AC}[/tex] og selve utregningen videre er helt forståelig. Men jeg skjønner ikke at en kan bevise pytagoras med disse sidene!




Takk på forhånd!

De to trekantene som ikke er rettvinklete gir oss bare grunnlag for å bruke formlikhet til å finne like sider. De to "ytre" trekantene er rettvinklete.


Vi vet at $\frac{AC}{AD} = \frac{AE}{AC}$.

Vi kan se fra tegningen at $AC = b$, $AD = c-a$ og $AE = c+a$.

Dermed har vi

\[\frac{AC}{AD} = \frac{AE}{AC}\]

\[\frac{b}{c-a}=\frac{c+a}{b}\]

Ganger med $b$ og $c-a$ på begge sider av likningen og får

\[b^2 = (c+a)(c-a) \]

Vi løser opp parantesen på høyre side

\[b^2 = c^2 - a^2\]

Som betyr at

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Ga dette mening?