Integral

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
Gunnar2

Jeg spurte læreren min om å få en vanskelig oppgave; da ba han meg finne integralet til e^(x^2)

Jeg har prøvd på denne oppgaven i flere timer men kommer liksom ingen vei, er det noen som vet løsningen?
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

Gunnar2 skrev:Jeg spurte læreren min om å få en vanskelig oppgave; da ba han meg finne integralet til e^(x^2)

Jeg har prøvd på denne oppgaven i flere timer men kommer liksom ingen vei, er det noen som vet løsningen?

Altså, gitt at du går videregående var det jo ganske dårlig gjort å gi et integral som ikke har noen elementær anti-derivert.

Den letteste måten å uttrykke det på er for øvrig at [tex]\int e^{x^2} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}erfi(x) +C[/tex] hvor erfi(x) er den imaginære errorfunksjonen https://en.wikipedia.org/wiki/Error_function

Den kan dog uttrykkes som sum

vi vet at [tex]e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}\cdots + \frac{x^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n}[/tex]

Hvis du da bare lar [tex]x\rightarrow x^2[/tex]

[tex]e^{x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n!}[/tex]

Hvis vi integrerer har vi da at [tex]\int e^{x^2}dx=\int \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n!}dx=\sum_{0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)n!}[/tex]
Sist redigert av Kay den 21/01-2018 21:49, redigert 1 gang totalt.
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Og hvis du presenterer denne løsninga til læreren din, så blir du stemplet som en jukser eller et geni.
Bilde
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

Kay har skrevet et godt svar, men jeg ønsker å supplementere litt.

Alle analytiske funksjoner (både reelle og komplekse), kan uttrykkes ved såkalte Taylorrekker. Denne taylorrekken vil konvergere mot funksjonen, gitt at den er analytisk. Taylorrekken for en analytisk funksjon $f(x)$ uttrykkes som $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$ Her denoterer $f^{(n)}$ den $n$-te deriverte av $f(x)$. $f^{(0)}(x)$ er identisk med $f(x)$. Ved spesialtilfellet $a=0$ kalles rekken gjerne en Maclaurinrekke, og definisjonen reduseres til $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

La oss se på et eksempel:

La $f(x)=x^3+2x^2+4x+5$, da er
$f(0)=5$
$f'(0)=4$
$f''(0)=4$
$f^{(3)}(0) = 6$
Og for alle $n > 3$ er $f^{(n)}(0)=0$. Hvis vi nå rekkeutvikler $f(x)$ ved en Maclaurinrekke får vi at $$f(x)=5 + 4x + \frac{4}{2!}x^2 + \frac{6}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \frac{0}{5!}x^5 + \dots = 5 + 4x + 2x^2 + x^3 $$
Som var den samme funksjonen som vi startet med. Dette gjelder for alle polynomer - deres Maclaurinrekke er polynomet selv. Men hva med funksjoner som ikke er polynomer - for eksempel eksponentialfunksjonen? Siden $e^x$ er sin egen deriverte er $e^x$ kanskje den Maclaurinrekken som er lettest å rekkeutvikle. Ved å bruke samme fremgangsmåte som tidligere får vi $$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^0}{n!}x^n = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \dots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$$. Hvis du nå lar $x \to x^2$ som Kay har gjort får du Maclaurinrekken til $e^{x^2}$.

Nå kan vi uttrykke $e^{x^2}$ som et uendelig polynom, og polynomer er ikke vanskelig å integrere
$$\int e^{x^2} \text{d}x = \int \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!} \text{d}x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot \frac{1}{2n+1} \cdot x^{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1) \cdot n!}$$

Vi får altså integrert $e^{x^2}$ men ender opp med et uendelig polynom, slik at polynomet aldri blir helt rett, siden vi alltid kan legge til ekstra ledd. Hvis du nå ønsker å finne det bestemte integralet på et intervall $[a,b]$ vil selvfølgelig flere ledd i Maclaurinrekken gjøre svaret mer nøyaktig. Her bør du gjerne bruke pc, siden det vil ta svært lang tid for hånd. I følge Wolfram Alpha er $\int_0^3 e^{x^2} \, \text{d}x \approx 1444.55$. Jeg definerte en funksjon i Geogebra $S(x)$ som Sum((x^((2*n)+1)/((2*n+1)*n!)), n, 0, 16). Altså de $16$ første leddene av integralet av maclaurinrekken til $e^{x^2}$. Hvis jeg nå tar $S(3)-S(0)$ får jeg $\approx 1437.1639$, som ikke er særlig langt unna det egentlige svaret. Hvis jeg dobler antall ledd får jeg $\approx 1444.5451$, som i allefall ikke er langt unna. Poenget her er at flere ledd gjør svaret mer nøyaktig.

Taylorrekker er noe man typisk lærer i en av de første matematikkfagene man har på universitet/høgskole, men du vil som R2-elev (antar du er det) ikke ha særlig problem med å lese deg opp på slike rekker, jeg vil særlig anbefale denne videoen.

PS:
Kay skrev:Den letteste måten å uttrykke det på er for øvrig at [tex]\int e^{x^2} = \frac{1}{2}erfi(x) +C[/tex] hvor erfi(x) er den imaginære errorfunksjonen.
Det er vel $\int e^{x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \text{erfi}(x) + C$?

Edit:
Endret litt i formuleringen etter god tilbakemelding fra Dennis og Gustav.
Sist redigert av Markus den 22/01-2018 16:17, redigert 2 ganger totalt.
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

Markus skrev: Det er vel $\int e^{x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \text{erfi}(x) + C$?
Selvfølgelig. Tex-editoren har klikka litt, så glemte å \sqrt{\pi} inn i telleren og overså det fullstendig.
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Markus skrev:Kay har skrevet et godt svar, men jeg ønsker å supplementere litt.

Alle funksjoner (både reelle og komplekse) som er uendelig deriverbare i omegn av funksjonargumentet $x=a$ kan uttrykkes ved såkalte Taylorrekker.
Dette stemmer ikke for reelle funksjoner. Definér $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ved $$f(x) = \begin{cases} \text{exp}(-\frac{1}{x})\text{ hvis }x>0 \\ 0 \text{ hvis }x\leq 0\end{cases}.$$ Da ser vi at $f$ er uendelig derivérbar overalt, men $f^{(n)}(0) = 0$ for alle $n\in\mathbb{N}$ (sjekk dette), så $f$ har ingen konvergerende Taylorrekke i $x=0$. Det du har skrevet gjelder derimot for uendelig deriverbare funksjoner $\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$, hvilket kan bevises ved hjelp av Cauchys integralteorem.

EDIT: skrivefeil/oppklaring
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

DennisChristensen skrev:
Markus skrev:Kay har skrevet et godt svar, men jeg ønsker å supplementere litt.

Alle funksjoner (både reelle og komplekse) som er uendelig deriverbare i omegn av funksjonargumentet $x=a$ kan uttrykkes ved såkalte Taylorrekker.
Dette stemmer ikke for reelle funksjoner. Definér $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ved $$f(x) = \begin{cases} \text{exp}(-\frac{1}{x})\text{ hvis }x>0 \\ 0 \text{ hvis }x\leq 0\end{cases}.$$ Da ser vi at $f$ er uendelig derivérbar overalt, men $f^{(n)}(0) = 0$ for alle $n\in\mathbb{N}$ (sjekk dette), så $f$ har ingen Taylorrekke i $x=0$. Det du har skrevet gjelder derimot for analytiske funksjoner $\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$, hvilket kan bevises ved hjelp av Cauchys integralteorem.
Takk for tilbakemelding.
Hva er da kravet for $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ funksjoner? Har heller aldri hørt om Cauchys integralteorem. Kan selvfølgelig google det opp, men hvis du hadde giddet å tatt det i samme slengen, hadde jeg satt stor pris på det!

Edit: Etter å ha lest på nytt;
Siden $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$, vil vel det samme gjelde for $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$? Altså hvis en reell funksjon er analytisk vil den ha en taylor-rekke, i omegn av et funksjonsargument $x=a$? Er dog litt usikker på hva analytisk betyr i denne sammenhengen.
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Markus skrev: Takk for tilbakemelding.
Hva er da kravet for $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ funksjoner?
Man kan ikke formulere noe enkelt krav for reelle funksjoner ved hjelp av deriverbarhet. En funksjon $f$ (reell eller kompleks) er per definisjon analytisk i punktet $a$ dersom $f$ har en konvergerende Taylorrekke omkring $a$. Det viser seg (og dette bevises i et kurs i kompleks analyse) at dersom en funksjon $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ er uendelig deriverbar, så har den også en konvergerende Taylorrekke. Dette er en av mange egenskaper med komplekse funksjoner som på sett og vis gjør kompleks analyse noe "enklere" enn reell analyse.

Markus skrev: Har heller aldri hørt om Cauchys integralteorem. Kan selvfølgelig google det opp, men hvis du hadde giddet å tatt det i samme slengen, hadde jeg satt stor pris på det!
Cauchys integralteorem er ett av mange fundamentale teoremer fra kompleks analyse som impliserer at analytiske funksjoner på det komplekse planet tilfreddstiller en rekke egenskaper. Det vil bli for teknisk å gå inn i detaljene her, men hvis du ønsker en solid introduksjon til kompleks analyse, kan jeg anbefale [H. A. Priestley, Introduction to Complex Analysis (Second edition, OUP, 2003)] på det sterkeste. Denne vil riktignok kreve forkunnskaper innen reell analyse.
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

DennisChristensen skrev:
Markus skrev: Takk for tilbakemelding.
Hva er da kravet for $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ funksjoner?
Man kan ikke formulere noe enkelt krav for reelle funksjoner ved hjelp av deriverbarhet. En funksjon $f$ (reell eller kompleks) er per definisjon analytisk i punktet $a$ dersom $f$ har en Taylorrekke omkring $a$. Det viser seg (og dette bevises i et kurs i kompleks analyse) at dersom en funksjon $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ er analytisk, så har den også en konvergerende Taylorrekke. Dette er en av mange egenskaper med komplekse funksjoner som på sett og vis gjør kompleks analyse noe "enklere" enn reell analyse.

Markus skrev: Har heller aldri hørt om Cauchys integralteorem. Kan selvfølgelig google det opp, men hvis du hadde giddet å tatt det i samme slengen, hadde jeg satt stor pris på det!
Cauchys integralteorem er ett av mange fundamentale teoremer fra kompleks analyse som impliserer at analytiske funksjoner på det komplekse planet tilfreddstiller en rekke egenskaper. Det vil bli for teknisk å gå inn i detaljene her, men hvis du ønsker en solid introduksjon til kompleks analyse, kan jeg anbefale [H. A. Priestley, Introduction to Complex Analysis (Second edition, OUP, 2003)] på det sterkeste. Denne vil riktignok kreve forkunnskaper innen reell analyse.
Igjen, takk for et godt svar.

Så det blir mer presist (og korrekt) å si noe som
Alle funksjoner som er analytiske over $\mathbb{R}$ og er uendelig deriverbare i omegn av et funksjonargument $x=a$, kan uttrykkes ved Taylorrekker.

Ser wikipedia bruker
Gitt en reell eller kompleks funksjon f(x) som er uendelig mange ganger deriverbar i en omegn om funksjonsargumentet x = a. Taylorrekken til funksjonen er potensrekken $$f(a) + \frac{f’(a)}{1!}(x-a) + \frac{f’’(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots$$
Blir dette feil for de reelle funksjonene?
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Markus skrev: Igjen, takk for et godt svar.

Så det blir mer presist (og korrekt) å si noe som
Alle funksjoner som er analytiske over $\mathbb{R}$ og er uendelig deriverbare i omegn av et funksjonargument $x=a$, kan uttrykkes ved Taylorrekker.
Det er korrekt, ja, men litt unødvendig formulert, ettersom $$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\text{ er analytisk i omegn av }x=a \implies f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\text{ er uendelig deriverbar i omegn av }x=a.$$ Poenget mitt ovenfor er at "$\impliedby$" også gjelder for komplekse funksjoner.
Markus skrev: Ser wikipedia bruker
Gitt en reell eller kompleks funksjon f(x) som er uendelig mange ganger deriverbar i en omegn om funksjonsargumentet x = a. Taylorrekken til funksjonen er potensrekken $$f(a) + \frac{f’(a)}{1!}(x-a) + \frac{f’’(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots$$
Blir dette feil for de reelle funksjonene?
Nei, det er teknisk sett riktig, men for funksjoner som mitt eksempel $f$ i mitt første svar forteller ikke dette oss mye. Taylorrekken til denne $f$ vil være identisk lik $0$, og konvergerer ikke mot $f(x)$ mot noen verdier av $x\in\mathbb{R}$. Altså kan vi assosiere $f$ med en Taylorrekke, men vi kan ikke uttrykke $f$ ved noen Taylorrekke.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Markus skrev: Ser wikipedia bruker
Gitt en reell eller kompleks funksjon f(x) som er uendelig mange ganger deriverbar i en omegn om funksjonsargumentet x = a. Taylorrekken til funksjonen er potensrekken $$f(a) + \frac{f’(a)}{1!}(x-a) + \frac{f’’(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots$$
Blir dette feil for de reelle funksjonene?
Enkelt sagt: Så lenge en funksjon er uendelig deriverbar kan man beregne Taylorrekka til funksjonen, men denne Taylorrekka vil enten konvergere mot funksjonen, eller ikke. Poenget er at Taylorrekka konvergerer mot funksjonen hvis og bare hvis funksjonen er analytisk:

Oppsummert:

$f$ analytisk $\Leftrightarrow$ Taylorrekka til $f$ konvergerer mot $f$ $\Rightarrow$ $f$ uendelig deriverbar

$f$ uendelig deriverbar $\not \Rightarrow $ Taylorrekka til $f$ konvergerer mot $f$ $\Leftrightarrow $ $f$ analytisk


For kompleks deriverbar/analytisk er saken en annen da definisjonen av kompleks deriverbarhet er mye strengere:

$f$ kompleks deriverbar $\Leftrightarrow$ $f$ kompleks analytisk (også kjent som holomorf)

Edit: Kom over dette litt artige patologiske eksempelet på en uendelig deriverbar funksjon som er "nowhere" analytisk https://en.wikipedia.org/wiki/Fabius_function
Svar