matematikk.net

Jeg har lært meg det mest elementære med sinus, cosinus, tangen, arealsetningen og sinussetningen.
Nå har jeg funnet en oppgave som består av flere trekanter, der man skal finne ukjente sider og vinkler. Greit nok.
oppgave a) og b) er grei skuring. Der er det en rettvinklet trekant, og ikke noe problem å regne ut.

Å finne vinkler og sider i trekanten BED er heller ikke noe problem, og å regne ut arealet av trekanten ABE (oppg c) er lett.

MEN:

d) finn vinkel C. Jeg klarer ikkeå fremskaffe nok opplysninger til å regne ut denne. Det er ingen rettvinklet trekant å ta utgangspunkt i, og jeg mangler lengden EC.

Står fast.

Straamann wrote:Jeg har lært meg det mest elementære med sinus, cosinus, tangen, arealsetningen og sinussetningen.
Nå har jeg funnet en oppgave som består av flere trekanter, der man skal finne ukjente sider og vinkler. Greit nok.
oppgave a) og b) er grei skuring. Der er det en rettvinklet trekant, og ikke noe problem å regne ut.

Å finne vinkler og sider i trekanten BED er heller ikke noe problem, og å regne ut arealet av trekanten ABE (oppg c) er lett.

MEN:

d) finn vinkel C. Jeg klarer ikkeå fremskaffe nok opplysninger til å regne ut denne. Det er ingen rettvinklet trekant å ta utgangspunkt i, og jeg mangler lengden EC.

Står fast.

La $x=CE$. Vi bruker cosinussetningen på vinkel $A$:
$$21^2 = 12^2 + (17+x)^2 - 2\cdot 12(17+x)\cos\left(\angle A\right).$$
Siden du har funnet vinkel $A$, kan du med dette finne $x$, altså $CE$. Bruk nå cosinussetningen på vinkel $C$.

Aha. Men får man ikke da en ganske krøkkete andregradsligning å løse?

jeg endte opp med:

-x^2 + 24 x = -416 / cos (22.6)

Straamann wrote:Aha. Men får man ikke da en ganske krøkkete andregradsligning å løse?

jeg endte opp med:

-x^2 + 24 x = -416 / cos (22.6)

Fra figuren har vi at $\cos\left(\angle A\right) = \frac{12}{13}.$ dermed får vi likningen $$(17+x)^2 -24\cdot\frac{12}{13}(17+x) + 12^2 - 21^2 = 0$$
$$x^2 +\left(34 - \frac{24\cdot 12}{13}\right)x +12^2 - 21^2+ 17^2 - \frac{24\cdot 12\cdot 17}{13}=0$$ $$13x^2 +154x - 5000 =0.$$

$ABC$-formelen gir to løsninger, én negativ og én positiv. Vi er ute etter den positive, som viser seg å være $$x = \frac{3\sqrt{7881}}{13} -\frac{77}{13}\approx 14.563.$$

Alternativ løysing:

Tek utgangspunkt i trekant BCD (som inneheld vinkel C).

Ser at sinBDC = sinADB = 12/13 ( to vinklar med sum lik 180 grader(supplementvinklar ) har same sin-verdi, og så vidt eg veit
er dette pensum i 1T ). Vidare har vi at BD = 5 (utrekna tidlegare ). Da kan vi lett finne vinkel C ved å bruke sinussetninga:

sinBDC/BC = sinC/BD. Sett Vinkel C = x grader og får likninga:

12/13/21 = sin( x grader )/5

Legg inn likninga i CAS (hugs å halde nede alt-tasten for å lese inn grader-teiknet(o), og trykk på
" X-tilnærma-lik "-knappen på verktøylinja. Da vil løysinga straks dukke opp på neste linje i CAS-feltet.

Ser at jeg har gjort ting unødvendig vanskelig. Den raskeste metoden vil selvsagt være å bruke sinussetningen direkte på $\triangle ABC$. Da får vi at $$\frac{\sin C}{12} = \frac{\sin A}{21}$$ $$\sin C = \frac{12}{21}\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2} = \frac{20}{91},$$ så $C \approx 12.7^{\circ}.$

EDIT: Slurvefeil, glemte kvadratrot

Wow. Men hvorfor 13 foran x^2? Jeg ser bare én x^2?

EDIT: ser oppdateringen din nå. skal lese gjennom den først.

Vinkel C = 12.7 grader

Straamann wrote:Wow. Men hvorfor 13 foran x^2? Jeg ser bare én x^2?

EDIT: ser oppdateringen din nå. skal lese gjennom den først.

Har bare multiplisert hele likningen med 13 for å bli kvitt brøk.

Da løste det seg til slutt Ser at dette er en typisk oppgave som kan løses på mange måter, og da gjelder det å finne den måten som er enklest og tar kortest tid (og som samtidig gir et nøyaktig svar selvsagt).

Jeg knotet fælt med å finne arealet også, bestemte meg for å løse oppgaven ved å finne vinkel B og løse med arealsetningen. Måtte derfor regne ut de to resterende små-vinklene som utgjør vinkel B samt BE og vinkel BDE. Godt mulig at det kan gjøres på en annen måte. I en eksamenssituasjon må man jo spare tid.

Straamann wrote:Da løste det seg til slutt Ser at dette er en typisk oppgave som kan løses på mange måter, og da gjelder det å finne den måten som er enklest og tar kortest tid (og som samtidig gir et nøyaktig svar selvsagt).

Jeg knotet fælt med å finne arealet også, bestemte meg for å løse oppgaven ved å finne vinkel B og løse med arealsetningen. Måtte derfor regne ut de to resterende små-vinklene som utgjør vinkel B samt BE og vinkel BDE. Godt mulig at det kan gjøres på en annen måte. I en eksamenssituasjon må man jo spare tid.

Husk at $\angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C.$

Spørsmål c: Finn arealet av trekant ABE.

Løysing: Arealsetninga gir

Areal trekant ABE = 1/2 * AB * AE * sinA = 1/2 * AB * AE * BD/AD = 1/2 * 12 * (13 + 4 ) * 5/13 = 6 * 17 * 5/13 = 39