matematikk.net

En motorbåt har farten v[sub]0[/sub] = 8,0 m/s. Ved tiden t = 0 blir motoren slått av. Friksjonskraften mellom sjø og båt gir båten en akselerasjon |a| = kv[sup]2[/sup]. Etter 20s er båtens fart redusert til 4,0 m/s.

Spørsmålet er å finne proporsjonalitetsfaktoren k. Må en bruke diff.ligninger her? Jeg er ikke helt stødig i dette dessverre.

Blir det noe sånn;

a = k dv/dt --> [itgl]dv[sup]2[/sup][/itgl] = k [itgl]a dt[/itgl]

Isåfall, jeg får svaret -48/20. Hva gjør jeg galt? [/sub]

La v(t) og a(t) være hhv. motorbåtens fart i m/s og akselerasjon i m/s[sup]2[/sup] t sekunder etter motoren blir stoppet. Da er

a = dv/dt = -kv[sup]2[/sup] (NB: │a│= kv[sup]2[/sup] gir k>0)

dv/v[sup]2[/sup] = -k dt

[itgl][/itgl] dv/v[sup]2[/sup] = [itgl][/itgl] -kt dt

-1/v = -kt + c der er c en vilkårlig konstant

v(t) = 1/(kt - c)

Nå er v(0)=8, som innsatt i (1) gir c=-1/8, så

(2) v(t) = 1/[kt + (1/8].

Videre er v(20)=4, som innsatt i (2) gir k=1/160.

Hvorfor blir det

a = dv/dt = -kv2 (NB: „ a„ = kv2 gir k>0)

og ikke a = dv/dt = kv2?

I oppgaveteksten står det at

(1) │a│= kv[sup]2[/sup].

Nå er │a│>0 og v[sup]2[/sup]>0, hvilket betyr at k>0 ifølge (1) . Siden båtens fart avtar, er akselerasjonen negativ, dvs. at a<0. M.a.o. er a<0<k, som kombinert med (1) gir

a = -kv[sup]2[/sup].

Hvordan blir regnestykket for hvor langt båten vil bevege seg før farten blir redusert til 1,0 m/s da?

Setter du inn k=1/160 i (2), får vi at

v(t) = 160/(t + 20)

Dette innebærer at

v(t) = 1

160/(t + 20) = 1

t + 20 = 160

t = 140.

Dermed blir distansen båten har beveget seg fra motoren ble slått av (i en fart av 8 m/s) til farten er redusert til 1 m/s blir

[itgl][/itgl] v(t)dt ... t=0^140

= [itgl][/itgl] 160/(t + 20) dt ... t=0^140

= [160*ln(t + 20)] ... t=0^140

= 160[ ln160 - ln20]

= 160 ln(160/20)

= 160 ln8

= 160 ln2[sup]3[/sup]

= 3*160 ln2

= 480 ln2

≈ 333 (meter).

Herrefred. Jeg kommer aldri til å skjønne diff. ligninger. Passer meg dårlig, ettersom jeg går ingeniørstudier