matematikk.net

Hei vi er 4 stykker som samles i helgene og har studiegruppe sammen Vi jobber for tiden med Vektorer.

Vi har kommet over en oppgave som ingen av oss klarer så tenkte vi kunne stille spørsmålet her inne for å se om vi kunne fått noe hjelp. Vi går ut ifra at oppgaven er eksamens relatert så hvis noen kan hjelpe oss med oppgaven så hadde det vært veldig fint om du kunne forklart litt hvordan du går frem underveis for å løse problemet
Oppgaven:

Jeg har tatt bilde av oppgaven å lagt den med som et vedlegg.

RiveRolf wrote:Hei vi er 4 stykker som samles i helgene og har studiegruppe sammen Vi jobber for tiden med Vektorer.

Vi har kommet over en oppgave som ingen av oss klarer så tenkte vi kunne stille spørsmålet her inne for å se om vi kunne fått noe hjelp. Vi går ut ifra at oppgaven er eksamens relatert så hvis noen kan hjelpe oss med oppgaven så hadde det vært veldig fint om du kunne forklart litt hvordan du går frem underveis for å løse problemet
Oppgaven:

Jeg har tatt bilde av oppgaven å lagt den med som et vedlegg.

Entydighet: Anta at vi kan skrive $$\vec{a} = \vec{a}_{\parallel} + \vec{a}_{\perp} = \vec{a'}_{\parallel} + \vec{a'}_{\perp}$$ med to slike komposisjoner. Vi vet at $\vec{a}_{\parallel} \parallel \vec{b} \parallel \vec{a'}_{\parallel}$, så vi kan skrive $\vec{a}_{\parallel} = \alpha\vec{b}$ og $\vec{a'}_{\parallel} = \beta\vec{b}$ for $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$. Tar vi skalarprodukt med $\vec{b}$ i de to uttrykkene for $\vec{a}$ ovenfor får vi at $$ \alpha|\vec{b}|^2 = \beta|\vec{b}|^2,$$ så $\alpha = \beta$ ettersom $\vec{b}\neq 0$. Dermed er $\vec{a}_{\parallel} = \vec{a'}_{\parallel}$, så $\vec{a}_{\parallel}$ entydig bestemt, og utifra dette er $\vec{a}_{\perp}$ entydig bestemt fra uttrykket $\vec{a}_{\perp} =\vec{a} - \vec{a}_{\parallel}.$

Komponenter: Vi ønsker å skrive $\vec{a}$ på formen $\vec{a} = \vec{a}_{\parallel} + \vec{a}_{\perp},$ der $\vec{a}_{\parallel}\parallel\vec{b}$ og $\vec{a}_{\perp}\perp\vec{b}.$ Fra opplysningene i oppgaven vet vi at det vil være mulig å skrive $\vec{a}$ på denne formen. Vi trenger å finne komponentene eksplisitt. Umiddelbart vet vi altså at vi kan skrive $\vec{a}_{\parallel} = \lambda\vec{b}$ for $\lambda \in\mathbb{R}\setminus\{0\}.$ Nå, vi tar skalaprodukt med $\vec{b}$ på begge sider av likningen $\vec{a} = \vec{a}_{\parallel} + \vec{a}_{\perp}$ for å eliminere $\vec{a}_{\perp}$ og får at $$\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{a}_{\parallel}\cdot\vec{b} + \vec{a}_{\perp}\cdot\vec{b} = \vec{a}_{\parallel}\cdot\vec{b} = \lambda\vec{b}\cdot\vec{b} = \lambda|\vec{b}|^2.$$ Altså ser vi at $\lambda = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2},$ så $\vec{a}_{\parallel} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}.$ Som vi så i entydighetsargumentet er det klart at $\vec{a}_{\perp} = \vec{a} - \vec{a}_{\parallel},$ som ønsket.

Tusen takk mister

Får jeg spørre hvilken linje og på hvilket år du går?