matematikk.net

Hvordan gjør man integralet av (lnx)^2? Må man bruke delvis integrasjon og variabelskifte, og hvordan skal jeg gjøre det?

mattenøtta wrote:Hvordan gjør man integralet av (lnx)^2? Må man bruke delvis integrasjon og variabelskifte, og hvordan skal jeg gjøre det?

ja: delvis integrasjon og substitusjon:

[tex]I= x\ln^2(x) - 2\int \frac{\ln(x)}{x}\,dx[/tex]

etc...

En annen måte er å bruke en slags "baklengs substitusjon"; $u= \ln(x) \therefore e^u = x \implies \frac{\text{d}x}{\text{d}u} = e^u \therefore \text{d}x = e^u \text{d}u$, så integralet blir da $$\int u^2e^u \, \text{d}u = u^2e^u - \int 2ue^u \, \text{d}u = u^2e^u - \left(2ue^u - 2e^u \right ) = u^2e^u - 2ue^u + 2e^u + C$$ Ved å substituere tilbake for $u$ fås $$\int (\ln(x))^2 \, \text{d}x = (\ln(x))^2 e^{\ln(x)} - 2\ln(x)e^{\ln(x)} + 2e^{\ln(x)} + C = x(\ln(x))^2 - 2x\ln(x) + 2x + C$$

Markus wrote:En annen måte er å bruke en slags "baklengs substitusjon"; $u= \ln(x) \therefore e^u = x \implies \frac{\text{d}x}{\text{d}u} = e^u \therefore \text{d}x = e^u \text{d}u$, så integralet blir da $$\int u^2e^u \, \text{d}u = u^2e^u - \int 2ue^u \, \text{d}u = u^2e^u - \left(2ue^u - 2e^u \right ) = u^2e^u - 2ue^u + 2e^u + C$$ Ved å substituere tilbake for $u$ fås $$\int (\ln(x))^2 \, \text{d}x = (\ln(x))^2 e^{\ln(x)} - 2\ln(x)e^{\ln(x)} + 2e^{\ln(x)} + C = x(\ln(x))^2 - 2xe^x + 2x + C$$

Dette er riktig tenkt, men du har en liten feil i siste linje. Når du fullfører substitusjonen får du svaret $\int \left(\ln x\right)^2dx = x\left(\ln x\right)^2 - 2x\ln x + 2x + C, C\in\mathbb{R}.$

DennisChristensen wrote:

Markus wrote:En annen måte er å bruke en slags "baklengs substitusjon"; $u= \ln(x) \therefore e^u = x \implies \frac{\text{d}x}{\text{d}u} = e^u \therefore \text{d}x = e^u \text{d}u$, så integralet blir da $$\int u^2e^u \, \text{d}u = u^2e^u - \int 2ue^u \, \text{d}u = u^2e^u - \left(2ue^u - 2e^u \right ) = u^2e^u - 2ue^u + 2e^u + C$$ Ved å substituere tilbake for $u$ fås $$\int (\ln(x))^2 \, \text{d}x = (\ln(x))^2 e^{\ln(x)} - 2\ln(x)e^{\ln(x)} + 2e^{\ln(x)} + C = x(\ln(x))^2 - 2xe^x + 2x + C$$

Dette er riktig tenkt, men du har en liten feil i siste linje. Når du fullfører substitusjonen får du svaret $\int \left(\ln x\right)^2dx = x\left(\ln x\right)^2 - 2x\ln x + 2x + C, C\in\mathbb{R}.$

Selvfølgelig, slurva litt der - takk for at du påpekte det! Rettet opp nå.

Markus wrote:En annen måte er å bruke en slags "baklengs substitusjon"; $u= \ln(x) \therefore e^u = x \implies \frac{\text{d}x}{\text{d}u} = e^u \therefore \text{d}x = e^u \text{d}u$, så integralet blir da $$\int u^2e^u \, \text{d}u = u^2e^u - \int 2ue^u \, \text{d}u = u^2e^u - \left(2ue^u - 2e^u \right ) = u^2e^u - 2ue^u + 2e^u + C$$ Ved å substituere tilbake for $u$ fås $$\int (\ln(x))^2 \, \text{d}x = (\ln(x))^2 e^{\ln(x)} - 2\ln(x)e^{\ln(x)} + 2e^{\ln(x)} + C = x(\ln(x))^2 - 2x\ln(x) + 2x + C$$

Takk! Kan du bare forklare hvorfor jeg kan sette at u=lnx <-> e^u=x?

mattenøtta wrote:

Markus wrote:En annen måte er å bruke en slags "baklengs substitusjon"; $u= \ln(x) \therefore e^u = x \implies \frac{\text{d}x}{\text{d}u} = e^u \therefore \text{d}x = e^u \text{d}u$, så integralet blir da $$\int u^2e^u \, \text{d}u = u^2e^u - \int 2ue^u \, \text{d}u = u^2e^u - \left(2ue^u - 2e^u \right ) = u^2e^u - 2ue^u + 2e^u + C$$ Ved å substituere tilbake for $u$ fås $$\int (\ln(x))^2 \, \text{d}x = (\ln(x))^2 e^{\ln(x)} - 2\ln(x)e^{\ln(x)} + 2e^{\ln(x)} + C = x(\ln(x))^2 - 2x\ln(x) + 2x + C$$

Takk! Kan du bare forklare hvorfor jeg kan sette at u=lnx <-> e^u=x?

Relasjonen over følger av at de er omvendte funksjoner av hverandre.

$u(x) = \ln x(u)$

$ e^{u(x)} = e^{\ln x(u)}$

$ e^{u(x)} = x(u)$

Man sløyfer gjerne "argument"-delen av funksjonene og skriver $u(x) = u$ og $x(u) = x$.