matematikk.net

[tex]\int \frac{4}{4-x^2}dx[/tex]

Når jeg gjør dette får jeg ln|2-x|+ln|2+x|+c, men fasiten sier at det er ln|2+x|-ln|2-x|+c. Noen forslag til hva jeg kan ha glemt?

mattenøtta wrote:[tex]\int \frac{4}{4-x^2}dx[/tex]

Når jeg gjør dette får jeg ln|2-x|+ln|2+x|+c, men fasiten sier at det er ln|2+x|-ln|2-x|+c. Noen forslag til hva jeg kan ha glemt?

$$\int\frac{4}{4-x^2} dx = 4\int\frac{dx}{(2-x)(2+x)} = \int\left(\frac{1}{2-x} + \frac{1}{2+x}\right)dx = -\ln|2-x| + \ln|2+x| +C, C\in\mathbb{R}.$$ Husk negativt fortegn foran $\ln$ når $x$-leddet har negativt fortegn i nevneren. Hvis ikke blir det galt svar: $\frac{d}{dx}\ln|2-x| = \frac{-1}{2-x} \neq \frac{1}{2-x}.$

Kanskje ikke den mest VGS-bevisste løsningen, men legger den ut uansett. Det går det an å si at [tex]\int \frac{4}{4-x^2}dx=\frac{4}{-1}\int\frac{1}{x^2-4}dx=-4(-\frac{1}{2}tanh^{-1}\left (\frac{x}{2} \right ))+C=2tanh^{-1}\left (\frac{x}{2} \right )+C[/tex]