matematikk.net

Nina hopper i fallskjer. Når det har gått t sekunder etter at hun har utløst skjermen er farten v til Nina gitt ved differensiallikningen: v' + k/70v = 9.81

a) Idet Nina løsner ut fallskjermen (t=0) har hun farten 50 m/s. Farten endrer seg da (t=0) med -60 m/s^2. Beregn verdien av konstanten.

b) Finn et uttrykk for farten v(t).

c) Finn farten og akselerasjonen til Nina etter 2 sekunder og etter 4 sekunder.

d) Etter 10 sekunder viser høydemåleren at Nina er 200 meter over bakken. Omtrent hvor lang tid tar der før hun lander?

e) Vi antar at en fallskjermhopper ikke får høyere fart enn 50 m/s i fritt fall. Hvilken høydegrense (hvor mange meter over bakken) vil du anbefale å sette for hopperne for når de senest må løsne ut skjermen slik at de skal rekke å få en fart på om slag 7.1 m/s før de når bakken?

TIPS: husk at den deriverte av strekningen er farten.

Oppgåva høver til R2-eksamen (Del 2). På denne del av eksamen kan du bruke relevante
hjelpemiddel, og her er det at CAS-verktøyet (Geogebra) kjem til sin fulle rett.

Rørslelikninga for fall i fallskjerm er gitt ved difflikninga

(* ) v' + k/70 * v = 9.81

a) Finn konstanten k

v(0) = 50 og v'( 0 ) = -60. Ved innsetting i (*) får vi

-60 + k/70 * 50 = 9.91 som gir (let CAS gjere jobben ) k = 97.73

b) Finn v(t). Brukar CAS-kommandoen LøsODE:

v( x ): = LøsODE(y' + 97.73/70 * y = 9.18, (0 , 50) ) som gir

v(x) := 419980/9773 * e^(-9773/7000*x) + 68670/9773

c) Fart( v ) og akselerasjon( v ' ) etter 2 sekund.

v( 2 ) = 9.66 og v'( 2 ) = -3.68

To sekund etter at fallskjermen blir utløyst er farta 9.7 m/s
Akselerasjonen viser at farta er i ferd med å minke med 3.7 m/s^2
på dette tidspunktet.

e) Finn høgdegrense h[tex]_{min}[/tex]
Finn først korlang tid det går før farta er komen ned på 7.1 m/s .

v( x ) = 7.1 (løyser likninga i CAS) gir x = 4.56

I dette tidsromet fell skjermen vegstykket

s = integral( v(x ) , 0 , 4.57 ) = 62.77 (tilnærma lik ) 63

Svar: h[tex]_{min}[/tex] = 63 meter.