Ulikheter

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Ulikheter

Innlegg charlottewt » 13/02-2018 12:10

Noen som kunne hjulpet meg med denne oppgaven, og hvordan jeg løser den i geogebra?

Vi har gitt ulikheten 2x-k ≥ 2x^2+2kx-1 der k er en konstant.
Bestem for hvilke verdier av k ulikheten har
1. en løsning
2. ingen løsning
charlottewt offline

Re: Ulikheter

Innlegg Mattegjest » 13/02-2018 12:51

Ulikskapen er ekvivalent med at

2x[tex]^2[/tex] + 2x(k - 1) + (k - 1) <= 0

Løysing i GeoGebra:

1) Vel k = 1 (startverdi) og aktiver glidarfunksjonen( dobbelklikk på den blå sirkelen i
algebrafeltet).

2) Teikn grafen til funksjonen

f(x):= 2x[tex]^2[/tex] + 2x( k - 1 ) + ( k - 1 )

3) Tilpasse k-verdien ( bruk glidaren ) slik at grafen til f tangerer x-aksen.
Då har du funne den k-verdien som gjer at ulikskapen har ei løysing.
4) Ulikskapen har inga løysing når grafen til f ligg over x-aksen
Dette er tilfelle når k < ......... ?
Hint: Bruk glidaren , så har du svaret !
Mattegjest offline

Re: Ulikheter

Innlegg DennisChristensen » 13/02-2018 19:52

charlottewt skrev:Noen som kunne hjulpet meg med denne oppgaven, og hvordan jeg løser den i geogebra?

Vi har gitt ulikheten 2x-k ≥ 2x^2+2kx-1 der k er en konstant.
Bestem for hvilke verdier av k ulikheten har
1. en løsning
2. ingen løsning


Vi ønsker å løse ulikheten $$2x - k \geq 2x^2 + 2kx - 1$$ $$2x^2 + 2kx - 2x + k-1 \leq 0$$ $$2x^2 + 2(k-1)x + k-1 \leq 0.$$ La $p_k(x) = 2x^2 + 2(k-1)x +k-1$. Ettersom $p_k$ sitt ledende ledd har positivt fortegn, og $p_k$ er et annengradspolynom, vil ulikheten $p_k(x)\leq 0$ ha én løsning hvis og bare hvis $p_k$ har gjentagende røtter. Dette er tilfellet hvis og bare hvis diskriminanten $\Delta(p_k) = 0$, altså: $$4(k-1)^2 - 8(k-1) = 0$$ $$(k-1)(4k - 12) = 0$$ $$4(k-1)(k-3) = 0.$$ Dermed har ulikheten nøyaktig én løsning når $k=1$ eller $k=3$.
Ulikheten vil ha ingen løsning hvis og bare hvis diskriminanten er negativ $\Delta(p_k) < 0$, altså: $$(k-1)(k-3) < 0.$$ Tegner vi fortegnslinjer ser vi at løsningen for denne ulikheten er $k\in (1,3)$, så ulikheten har ingen løsning når $1 < k < 3$.
DennisChristensen offline
von Neumann
von Neumann
Innlegg: 521
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Majestic-12 [Bot], Yahoo [Bot] og 6 gjester