matematikk.net

Hola!
Kan noen please vise utregningen for denne ved bruk av rekkeutviklingsmetoden?

[tex]y^{\prime} + y=xe^{x}[/tex]

Gjest wrote:Hola!
Kan noen please vise utregningen for denne ved bruk av rekkeutviklingsmetoden?

[tex]y^{\prime} + y=xe^{x}[/tex]

Vi antar at det finnes en analytisk løsning på formen $y(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n.$ Da får vi at $y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}.$ Substituerer vi dette inn i differensiallikningen får vi $$\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1} + \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n = xe^x = x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^{n+1}$$ $$a_1 + a_0 +\sum_{n=1}^{\infty}\left[(n+1)a_{n+1} + a_n - \frac{1}{(n-1)!}\right]x^n = 0$$

Uttrykket på venstre side er identisk lik $0$, så hvert ledd i rekken må forsvinne, og dermed får vi at $a_1 = -a_0$ og $$a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)(n-1)!} - \frac{a_n}{n+1} = \frac{n}{(n+1)!} - \frac{a_n}{n+1}\text{ }\text{ }\text{ }\text{ for }n\geq 1.$$

Åja, og hvordan finner man en tilnærmet løsning for [tex]\:y(1)\:[/tex], initialbetingelsen er [tex]\:y(0)=1\:[/tex], og velger [tex]n=6[/tex]
?

Gjest wrote:Åja, og hvordan finner man en tilnærmet løsning for [tex]\:y(1)\:[/tex], initialbetingelsen er [tex]\:y(0)=1\:[/tex], og velger [tex]n=6[/tex]
?

Initialbetingelsen lar deg bestemme $a_0$. Deretter summerer du de første 6 leddene i rekken etter å ha satt $x=1$ for å finne en tilnærmet løsning.

å shit, den e-en var opphøyd i minus x, hva må jeg korrigere nå?

Gjest wrote:å shit, den e-en var opphøyd i minus x, hva må jeg korrigere nå?

$$e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^n}{n!}.$$ Du kan nå løse oppgaven med samme metode som ovenfor.

jeg skjønte forklaringen din øverst, helt til det dukka opp hakeparentesene hvordan fikk du det som er inni hakeparentesene ...? Hvordan blir det som er inni hakeparentesene nå med e^(-x) ?

Gjest wrote:jeg skjønte forklaringen din øverst, helt til det dukka opp hakeparentesene hvordan fikk du det som er inni hakeparentesene ...? Hvordan blir det som er inni hakeparentesene nå med e^(-x) ?

Poenget er å anta eksistensen til en løsning på formen $y(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$, det vil si at $y$ er uttrykt med en potensrekke. Når dette er gjort flytter vi alt i likningen over på samme side, og vil få en likning på formen $$\text{forskjellige potensrekker} = 0.$$ Neste steg nå er å separere de ulike potensene $x^n$ hver for seg, og det er nettopp dette som er gjort i linjen med hakeparentsene. Først kommer konstantleddene, og deretter en sum av ledd på formen $$[\text{uttrykk med }n]x^n.$$ Siden vi vil at hele rekka skal forsvinne, kan vi sette alle koeffisientene lik $0$. Dette gir deg en serie med likninger som vil bestemme $a_n$, altså får vi et uttrykk for løsningen $y(x)$, og vi har løst differensiallikningen. Merk deg riktignok at vi kun er istand til å skrive $a_n$ som et uttrykk med $a_0$, og at vi ikke a priori vet hva $a_0$ er. Men dette er forventet: Vi har løst en differensiallikning, og forventer at det dukker opp en konstant i løsningen som er bestemt av initialbetingelsene, ikke likningen i seg selv.

jeg skjønner fortsatt ikke hvordan du utleder disse rekkene. Jeg kan ingenting om rekker. Please forklare

skjønner ikke hvor konstantleddene kommer fra, og separasjonen av de ulike potensene x_n, du gjør

og hvorfor vil vi at rekka skal forsvinne? jeg skjønner ingenting av rekker, og forelesningene er heller ikke å forstå av, ei heller boken

så hva blir løsningen med initialbetingelsen for n=6?

oppgaven er altså:
y^{\prime} + y=xe^{x}

Vi skal løse denne når vi vet at initialbetingelsen er y(0)=1, og vi vil ha n=6.

Kan du vise rett ut hvordan du løser denne oppgaven?