matematikk.net

utled den karakteristiske likningen for differensiallikningen ay''+by'+cy=0

Hvordan gjør jeg det videre fra abc-formelen?

mattenøtta wrote:utled den karakteristiske likningen for differensiallikningen ay''+by'+cy=0

Hvordan gjør jeg det videre fra abc-formelen?

Vet ikke om dette er det du spør om?

[tex]ay''+by'+cy=0[/tex]

La [tex]y''=x^2, y'=x, y=1[/tex]

[tex]ax^2+bx+c=0[/tex]

For andre ordens homogene diff. likninger har vi at [tex]y(x)=Ce^{r_1x}+De^{r_2x} \therefore y(x)= Ce^{\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}x}+De^{\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}x}[/tex]

Anta at difflikningen har en løsning, $y = e^{rx}$. Da har vi at
$y' = re^{rx}\\
y'' = r^2e^{rx}$

Vi får da ved innsetting i opprinnelig likning

$ay'' + by' + c = 0\\
ar^2e^{rx} + bre^{rx} +ce^{rx} = 0$

Her ser vi at $e^{rx} > 0$ for alle x, og faktoriserer den ut.
$e^{rx}(ar^2 + br + c) = 0$

Vi får da at løsningene er gitt ved abc-formelen
$r_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$