Aleks855 wrote:
Jeg er LITT usikker på om notasjonen endres dersom vi for eksempel har $f(x) = x^2$. Skal det da vises i denne notasjonen at verdimengden kun er $f(x) \geq 0$? Noen av de mer rutinerte gjengangerne her må nesten bekrefte/avkrefte dette.
Man trenger ikke endre noe. Notasjonen $f: A\rightarrow B$ betyr at $B$ er
verdiområdet til $f$, men ikke nødvendigvis verdimengden. Det vil si, $f(a) \in B \text{ }\forall a\in A$, men det er ingen garanti for at $\forall b\in B \text{ }\exists a\in A$ slik at $f(a) = b$.
Myron wrote:Har ikke peiling på det med bevis, men tenker noe slikt:
Siden et set med alle reelle tall er større enn et set med alle naturlige tall, så vil ikke en slik funksjon gå. (Heter kanskje mengde på norsk?)
Tenker at hvis [tex]f(a)=1, f(b)=2[/tex] og [tex]f(c)=3...[/tex]osv, så gir funksjonen et naturlig tall for hvert reelt tall, men siden det er flere reelle tall enn naturlige tall så kan ikke funksjonen eksistere? Det kan også være [tex]f(a)=a, f(b)=a+1[/tex] og [tex]f(c)=a+2...[/tex] der a er et reelt tall.
Du er inne på noe, men må formalisere argumentet ditt. Anta at en slik $f$ finnes. Ettersom verdimengden til $f$ er diskret vet vi at dens absoluttverdi $|f|$ har en minimumsverdi, si $|f(a_0)|$. Merk deg at ettersom $|f(a) - f(b)| \geq 1$ for alle $a, b\in\mathbb{R}$, er $f$ injektiv, så $|f|$ er i verstefall $2 - 1$. Dette betyr spesielt at det finnes maks $2$ forskjellige punkter i $\mathbb{R}$ som sendes til $|f(a_0)|$ av $|f|$. Hvis det finnes et annet slik punkt, kaller vi det $b_0$. Hvis ikke, setter vi $b_0 = \emptyset$. Verdimengden til restriksjonen $f\upharpoonright_{\mathbb{R}\setminus\{a_0, b_0\}}$ (hvor $\{a_0, b_0\}$ regnes som $\{a_0\}$ dersom $b_0 = \emptyset$) er også diskret, hvilket begyr at også restriksjonen $|f|\upharpoonright_{\mathbb{R}\setminus\{a_0, b_0\}}$ har en minimumsverdi, si $|f(a_1)|$. Som før kan det finnes en $b_1\in\mathbb{R}$ slik at $|f(b_1)| = |f(a_1)|$. Hvis ikke, setter vi $b_1 = \emptyset$. Dette gir oss en rekursiv oppregning $a_0, b_0, a_1, b_1, \dots , a_n, b_n, \dots$ av $\mathbb{R},$ hvilket er en selvmotsigelse, siden $\mathbb{R}$ er ikke-tellbar.
