Greenwich wrote:Hei, kan noen hjelpe meg med dette problemet?
H(x) = ln(1+h(x))/h(x) <— hva er regelen for derivasjon her?
h(x) = x^e (e^xp - 1/ln(1+x))<— jeg får den deriverte til å være:
ex^(e-1) (e^px - 1/ln(1+x)) + x^e (pe^px - 1/ln(1+x)^2)
er det korrekt?
Vi må finne ut hva som skjer med h(x) og H(x) når x går mot null og uendelig. (Når p er ikke lik null)
Tusen takk på forhånd.
Pass på å bruke parenteser når du skriver inn uttrykk. e^px tolkes som $e^px$, selv om du åpenbart mener å skrive $e^{px}$. På samme vis bør du skrive 1/(ln(1+x))^2, ikke 1/ln(1+x)^2 da dette tolkes som $\frac{1}{\ln(1+x)^2} = \frac{1}{2\ln(1+x)}.$
Jeg skjønner ikke helt hvorfor du har forsøkt å derivere $h$ når oppgaven kun spør etter grenseverdier, men jeg kan godt hjelpe deg med derivasjonen uansett.
Du har nesten derivert $h$ riktig, men du har feil i siste ledd. Merk at $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}\frac{1}{\ln(1+x)} = \frac{0\cdot\ln(1+x) - 1\cdot\frac{1}{1+x}}{(\ln(1+x))^2} = -\frac{1}{(x+1)(\ln(1+x))^2}.$$
Bruker vi dette får vi: $$h'(x) = ex^{e-1}\left(e^{px} - \frac{1}{\ln(1+x)}\right) + x^e\left(pe^{px} + \frac{1}{(x+1)(\ln(1+x))^2}\right)$$
~~~~~~
Så, angående oppgaven: Jeg finner $\lim_{x\rightarrow 0}h(x)$ for å vise deg hvordan du kommer i gang med grenseverdiene. Vi bruker Taylors teorem og Newtons generelle binomialformel og får at
$$\lim_{x\rightarrow 0}h(x)
= \lim_{x\rightarrow 0}x^e \left[e^{xp} - \frac{1}{\ln(1+x)}\right]
= \lim_{x\rightarrow 0}x^e\left[\left(1 + px + \frac{(px)^2}{2!} + \dots\right) - \frac{1}{x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots}\right] = \lim_{x\rightarrow 0}x^e\left[\left(1+x + \dots \right) - \frac{1}{x}\left(1+\frac{x}{2} - \dots\right)\right] = 0,$$ ettersom $e>1$.
For å finne grensene når $x\rightarrow \pm\infty$ må du dele opp i ulike tilfeller, avhengig av om $p>0$ eller $p<0$, og bruke standard regneregler for grenseverdier.
Når du så skal gå videre til grenseverdiene til $H$, må du igjen bruke L'Hôpitals regel eller Taylors teorem. For å anvende disse må du passe på å bruke kjerneregelen korrekt. For eksempel får vi at $$\lim_{x\rightarrow 0}H(x) = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+h(x))}{h(x)} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{h'(x)}{1+h(x)}}{h'(x)} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{1+h(x)} = \frac{1}{1+0}$$ fra L'Hôpitals regel, som er gyldig her fordi grenseverdien eksisterer. Jeg regner med at dette gir deg litt hjelp mot å finne de resterende grenseverdiene.