matematikk.net

Hei,
Jeg vet ikke hvor jeg skal begynne.
Hvordan hadde du gått fram for å løse disse oppgavene?

https://imgur.com/a/B5QkC

det er oppgave b) jeg sitter fast i, kan noen vise utregningen for den please?

Gjest wrote:det er oppgave b) jeg sitter fast i, kan noen vise utregningen for den please?

Fra definisjonen til tyngdepunktet $\mathbb{t}\in\mathbb{R}^2$ har vi at $\mathbb{t} = \frac{1}{M}\left(t_x, t_y\right),$ der $$M = \frac12(a+b)\text{ }\text{ (fra oppgave (a)),}$$ $$t_x = \iint_{\mathcal{T}}x\,\text{d}A$$ og $$t_y = \iint_{\mathcal{T}}y\, \text{d}A.$$ Klarer du resten selv nå?

nei, det er nettopp det jeg sitter fast i, altså å regne ut [tex]\: t_x\:[/tex] og [tex]\: t_y \:[/tex]. Kan du please vise utregningen step by step for begge tyngdekoordinatene, det er første gang jeg løser en slik oppgave, please ..

Kan du please vise det, jeg ser det ikke ...

Da får jeg:

[tex](\frac{x}{2(a+b)},\frac{y}{2(a+b)})[/tex]

Stemmer det?

Mente:

[tex](\frac{x}{(a+b)},\frac{y}{(a+b)})[/tex]

Kan det stemme?

Eller er det:

([tex]\frac{1}{2} (a-(a-b)x), \frac{1}{2} (a-(a-b)y)[/tex])

i det sistnevnte satte jeg øvre og nedre grensen til det andre integralet hhv. h(x)=a-(a-b)x og 0. Men man skulle kanskje ikke sette de noen grenser på det andre integralet i det hele tatt, som det følger av formelen din over?

[tex]t_x = \iint_{\mathcal{T}}x\,\text{d}=\frac{1}{2} x[/tex]

[tex]t_y = \iint_{\mathcal{T}}y\, \text{d}=\frac{1}{2} y[/tex]

Og siden M, altså arealet er kjent, så:

[tex]\frac{2}{(a+b)} \cdot (\frac{1}{2} x, \frac{1}{2} y)[/tex]

Ganger inn og får:

([tex]\frac{x}{(a+b)}, \frac{y}{(a+b)}[/tex])

Er dette koordinatene til tyngdepunktet?

Tyngdepunktet er et fast geometrisk punkt på figuren, ikke en funksjon av $x$ eller $y$. Integrerer vi får vi at $$t_x = \iint_{\mathcal{T}}x\,\text{d}A = \int_{x=0}^1\int_{y=0}^{a-(a-b)x}x\,\text{d}y\,\text{d}x = \int_{x=0}^1x\left(a-(a-b)x\right)\,\text{d}x = \int_{x=0}^1\left(ax - (a-b)x^2\right)\,\text{d}x = \left[\frac12ax^2 - \frac13(a-b)x^3\right]_{x=0}^1 = \frac12a - \frac13(a-b) = \frac13b + \frac16a.$$
På samme vis finner du $t_y$, og så er tyngdepunktet gitt ved $\mathbb{t} = \frac{1}{M}\left(t_x,t_y\right).$ Klarer du resten selv nå?

Hvordan finner jeg tyngdepunktet når jeg har:

[tex]\mathbb{t} = \frac{1}{M}\left(t_x,t_y\right)[/tex]

Kan du finne den ene hvertfall, jeg skjønner ikke hvordan jeg skal plotte inn hva her. Jeg vet at M er lik 1/2 (a+b), men hva står t for og hva står (t_x,t,y) for? Hvis t_x står for den ene koordinaten til tyngdepunktet, har ikke du da allerede funnet den av integralet over? Så hva er vitsen med å sette inn. Kan du please vise hvordan man finner tyngdepunktet, sånn kalkulert step by step altså please Dennis...?

[tex](\frac13b + \frac16a) \cdot 2 (a+b)[/tex]

Er det slik? Altså dette er x koordinaten til tyngepunktet?

Gjest wrote:[tex](\frac13b + \frac16a) \cdot 2 (a+b)[/tex]

Er det slik? Altså dette er x koordinaten til tyngepunktet?

Det er nesten riktig. Som jeg har forklart i mitt første innlegg, er $x$-koordinaten til tyngdepunktet $\frac{t_x}{M}$. Vi vet at $M = \frac12(a+b)$ og at $t_x = \frac13b + \frac16a$, så $x$-koordinaten blir $$\frac{t_x}{M} = \frac{\frac13b + \frac16a}{\frac12(a+b)} = \frac{\frac23b + \frac13a}{a+b} = \frac{a + 2b}{3(a+b)}.$$

Du regner så ut $t_y$ fra integralet $$t_y = \iint_{\mathcal{T}}y\, \text{d}A = \int_{x=0}^1\int_{y=0}^{a-(a-b)x}y\,\text{d}y\,\text{d}x,$$ og finner $y$-koordinaten til tyngdepunktet ved å dividere med $M$: $$y-\text{koordinaten til tyngdepunktet} = \frac{t_y}{M}.$$

tusen hjertelig takk skal du ha Dennis, du er en god hjelper i matte