Page 1 of 1
Volum av omdreiningslegeme
Posted: 03/02-2006 20:51
by Jerry
Find the volume generated by rotating about the x-axis the region lying under the astroid x=a*cos[sup]3[/sup]t and y=a*sin[sup]3[/sup]t and above the x-axis.
V = [pi][/pi] [itgl][/itgl] [sub]a[/sub][sup]b[/sup] g(t)[sup]2[/sup] *f'(t) dt, er formelen som gjelder. Men det jeg ikke skjønner er at jeg skal rotere området under og over x-aksen om x-aksen, hvordan lar det seg gjøre? Som regel er det bare det over ELLER under som skal roteres. Og hvordan skal jeg finne grensene?
Jeg vil gjerne ha litt guideing, men ikke svaret.
Posted: 03/02-2006 22:34
by Solar Plexsus
Det området du skal rotere, er det som befinner seg over x-aksen og under grafen til astroiden. Integrasjonsgrensene er de to t-verdiene i intervallet [0,2[pi][/pi]) som gir y(t)=0, dvs. sint=0. Altså blir t=0 og t=[pi][/pi] integrasjonsgrensene.
Posted: 04/02-2006 22:46
by Jerry
Jeg kunne faktisk tenkt meg og sett utregningen også, da jeg ikke får den til.
Posted: 05/02-2006 17:58
by Solar Plexsus
Nå er
[g(t)][sup]2[/sup]*f'(t) = [asin[sup]3[/sup]t][sup]2[/sup]*(acos[sup]3[/sup]t)' = (a[sup]2[/sup]sin[sup]6[/sup]t)*(3acos[sup]2[/sup]t*(-sint)) = -3a[sup]3[/sup] sin[sup]7[/sup]t cos[sup]2[/sup]t.
Dermed blir volumet
V = -3[pi][/pi]a[sup]3[/sup] [itgl][/itgl] sin[sup]7[/sup]t cos[sup]2[/sup]t dt ... t=[pi][/pi]->0 (Bruker substitusjonen u=cost)
= -3[pi][/pi]a[sup]3[/sup] [itgl][/itgl] sin[sup]7[/sup]t u[sup]2[/sup] du/(-sint) ... u=cos[pi][/pi]->cos0
= 3[pi][/pi]a[sup]3[/sup] [itgl][/itgl] sin[sup]6[/sup]t u[sup]2[/sup] du ... u=-1->1
= 3[pi][/pi]a[sup]3[/sup] [itgl][/itgl] (1 - u[sup]2[/sup])[sup]3[/sup]*u[sup]2[/sup] du ... u=-1->1
= 3[pi][/pi]a[sup]3[/sup] [itgl][/itgl] u[sup]2[/sup] - 3u[sup]4[/sup] + 3u[sup]6[/sup] - u[sup]8[/sup] du ... u=-1->1
= 3[pi][/pi]a[sup]3[/sup] [u[sup]3[/sup]/3 - 3u[sup]5[/sup]/5 + 3u[sup]7[/sup]/7 - u[sup]9[/sup]/9] ... u=-1->1
= 6[pi][/pi]a[sup]3[/sup] (1/3 - 3/5 + 3/7 - 1/9)
= 6[pi][/pi]a[sup]3[/sup] (105 - 189 + 135 - 35)/315
= 6[pi][/pi]a[sup]3[/sup]*(16/315).
= 32[pi][/pi]a[sup]3[/sup]/105.
Posted: 06/02-2006 20:18
by Jerry
Åiåi, her får jeg virkelig si takk, det var flott og grundig ført, det nok nok litt tid. Takk for hjelpen, "integrasjonskurset" - også kalt analyse, fortsetter!
mvh Jerry