Page 1 of 1
Areal til område i første kvadrant avgrenset av kurver
Posted: 13/04-2018 16:04
by Geiko
Jeg skal finne arealet til området i 1. kvadrant som er avgrenset av kurvene
xy=1
xy=7
y=e^(1)x
y=e^(5)x
Skal være helt ærlig å si at jeg vet ikke hvor jeg skal begynne. Hjelp?
Re: Areal til område i første kvadrant avgrenset av kurver
Posted: 13/04-2018 20:38
by reneask
Geiko wrote:Jeg skal finne arealet til området i 1. kvadrant som er avgrenset av kurvene
xy=1
xy=7
y=e^(1)x
y=e^(5)x
Skal være helt ærlig å si at jeg vet ikke hvor jeg skal begynne. Hjelp?
Først og fremst kan vi erkjenne at arealet av området er gitt ved
$$ \iint_A 1 \ dxdy $$
Vi ser at
$$ 1 \leq xy \leq 7$$
og
$$ e \leq \frac{y}{x} \leq e^5$$
der du bare kan dele på x i begge likningene og få disse begrensningene.
La oss innføre to variable $$u = xy \ \text{og} \ v=\frac{y}{x}$$.
Da blir grensene enkelt og greit
$$ 1 \leq u \leq 7$$
og
$$ e \leq v \leq e^5$$
integralet blir nå
$$ \iint_A 1 \ dxdy = \iint_D |J| \ dudv $$
der J er jacobideterminanten. (Tips, regn ut jacobideterminanten til u,v i stedet for x,y og deretter da den inverse av denne for enklere derivasjon).