matematikk.net

Hei!

Jeg forstår hvor Eulers metode kommer fra, hvor en differensiallikning på formen
[tex]y'(t) = g(y, t)[/tex]
tilnærmes med
[tex]y_{n+1} = y_{n} + h g(y_{n}, t).[/tex]

Jeg henger også med på geometriske argument, og utledninger som baserer seg på definisjonen av den deriverte. I Wikipediaartikkelen bruker de derimot en utledning som tar utgangspunkt i Taylorrekker, og her faller jeg av. Jeg vet at Taylorrekker er definert ved, for en tilnærming til funksjonen [tex]f(x)[/tex] rundt [tex]a[/tex]:
[tex]f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n[/tex].
Der jeg faller av er der artikkelen sier at den tilnærmer [tex]y[/tex] rundt [tex]t_{0}[/tex] med følgende:
[tex]y(t_0 + h) =y(t_0) + hy'(t_0) + \frac{1}{2} h^2 y''(t_0) + \mathcal{O}(h^3)[/tex].
Hva skjer med faktoren [tex](t-t_0)^n[/tex]? Og hvordan fungerer det med å mutliplisere med [tex]h^n[/tex]?

Setter pris på alle svar.

Edit: Fikset venstresiden i uttrykket for Taylorrekker etter kommentar fra MatIsa.

Det er en liten feil i uttrykket ditt for Taylorrekker, venstresiden skal være $f(x)$, ikke $f(a)$. Dersom du lar $t=t_0+h$ og bruker definisjonen av Taylorrekken, så får du at
$y(t_0+h) = y(t) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{y^{(n)}(t_0)}{n!}(t-t_0)^n = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{y^{(n)}(t_0)}{n!}((t_0+h)-t_0)^n = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{y^{(n)}(t_0)}{n!}h^n$

Selvfølgelig, tusen takk! Oppdaterte også førsteinnlegget til å vise viktig uttrykk for Taylorrekker.