Polycyclic groups
Posted: 19/04-2018 10:26
Jeg sliter med følgende oppgave:
«Prove that every infinite polycyclic group contains an infinite free abelian normal subgroup»
Jeg antar at man skal bevise dette ved induksjon på gruppens lengde, eller ved å anvende «Noetherian Induction», men jeg kommer ikke i mål. Prøver meg på induksjon på lengden (skriver på engelsk ettersom jeg ikke kjenner noe særlig av terminologien på norsk):
Let $G$ be infinite polycyclic. If $\text{len}(G) = 1$ then $G\cong\mathbb{Z}$, and we are done.
Suppose the statement holds for all infinite polycyclic groups of length $k-1$. Let $G$ be polycyclic of length $k$, so we have, say, $$G= N_0 \trianglerighteq N_1 \trianglerighteq \dots \trianglerighteq N_k \trianglerighteq N_{k+1} = 1,$$ with each $N_i/N_{i+1}$ cyclic.
If $N_1$ is finite then necessarily $N_0/N_1\cong\mathbb{Z}$, say $N_0/N_1\cong\{t^nN_1 : n\in\mathbb{Z}\}$, and can show $\mathbb{Z} \cong \langle t^2 \rangle \trianglelefteq N_0 =G$ $\checkmark$
Så kommer spørsmålet: Dersom $N_0/N_1 \cong \mathbb{Z}_m$ er nødvendigvis $|N_1| = \infty$, så fra induksjonshypotesen vet vi at det finnes $H\trianglelefteq N_1$ som er infinite free abelian. Jeg antar at jeg skal bruke denne $H$ til å få en korresponderende normal $\hat{H} \trianglelefteq N_0 = G$ som også er infinite free abelian, men jeg ser ikke helt hvordan. Noen som har noen tips?
«Prove that every infinite polycyclic group contains an infinite free abelian normal subgroup»
Jeg antar at man skal bevise dette ved induksjon på gruppens lengde, eller ved å anvende «Noetherian Induction», men jeg kommer ikke i mål. Prøver meg på induksjon på lengden (skriver på engelsk ettersom jeg ikke kjenner noe særlig av terminologien på norsk):
Let $G$ be infinite polycyclic. If $\text{len}(G) = 1$ then $G\cong\mathbb{Z}$, and we are done.
Suppose the statement holds for all infinite polycyclic groups of length $k-1$. Let $G$ be polycyclic of length $k$, so we have, say, $$G= N_0 \trianglerighteq N_1 \trianglerighteq \dots \trianglerighteq N_k \trianglerighteq N_{k+1} = 1,$$ with each $N_i/N_{i+1}$ cyclic.
If $N_1$ is finite then necessarily $N_0/N_1\cong\mathbb{Z}$, say $N_0/N_1\cong\{t^nN_1 : n\in\mathbb{Z}\}$, and can show $\mathbb{Z} \cong \langle t^2 \rangle \trianglelefteq N_0 =G$ $\checkmark$
Så kommer spørsmålet: Dersom $N_0/N_1 \cong \mathbb{Z}_m$ er nødvendigvis $|N_1| = \infty$, så fra induksjonshypotesen vet vi at det finnes $H\trianglelefteq N_1$ som er infinite free abelian. Jeg antar at jeg skal bruke denne $H$ til å få en korresponderende normal $\hat{H} \trianglelefteq N_0 = G$ som også er infinite free abelian, men jeg ser ikke helt hvordan. Noen som har noen tips?