Finne likning til tangent

[Negua]

Eksamen høst 2017

Oppgave 8.
Funksjonen f er gitt ved [tex]f(x)= e^{1-x}[/tex]
Grafen f har en tangent som går gjennom origo. Bestem denne tangenten.

Er det en annen metode når tangenten går gjennom origo, enn ellers?
Jeg fulgte nemlig denne måten: https://www.youtube.com/watch?v=acq10pgcC2E
Men der kommer jeg ingen vei. Punktet er jo (0,0). Så f(0) må jo da bli 0. Men det blir det altså ikke. Det blir jo f(0)=e

Jeg skjønner hvordan jeg skal løse denne (men jeg forstår ikke hvorfor), og derfor skjønner jeg ikke hvorfor metoden i YT-videoen ikke fungerer.

[DennisChristensen]

Eksamen høst 2017

Oppgave 8.
Funksjonen f er gitt ved [tex]f(x)= e^{1-x}[/tex]
Grafen f har en tangent som går gjennom origo. Bestem denne tangenten.

Er det en annen metode når tangenten går gjennom origo, enn ellers?
Jeg fulgte nemlig denne måten: https://www.youtube.com/watch?v=acq10pgcC2E
Men der kommer jeg ingen vei. Punktet er jo (0,0). Så f(0) må jo da bli 0. Men det blir det altså ikke. Det blir jo f(0)=e

Jeg skjønner hvordan jeg skal løse denne (men jeg forstår ikke hvorfor), og derfor skjønner jeg ikke hvorfor metoden i YT-videoen ikke fungerer.

I videoen du refererer til er skjæringspunktet mellom tangenten og grafen allerede gitt, hvilket gjør oppgaven noe enklere. I din oppgave 8 har vi ikke denne informasjonen; vi vet kun at tangenten går gjennom origo, men vet ikke hvor den tangerer grafen til $f$.

Ettersom tangenten går gjennom origo, vet vi at tangenten er gitt ved en likning på formen $y = ax$. Vi substituerer dette uttrykket for $y$ inn i uttrykket for $y=f(x)$ for å finne skjæringspunktet mellom linja $y=ax$ og grafen til $f$: $$ax = e^{1-x}.$$ Nå, ettersom linja $y=ax$ skal tangere grafen til $f$ i dette skjæringspunktet, ønsker vi at $a = f'(x) =-e^{1-x}$. Altså får vi at $$-xe^{1-x} = e^{1-x},$$ som forteller oss at $x=-1$. Dermed vet vi at linja gitt ved $y=ax$ tangerer grafen til $f$ i punktet $(-1, f(-1)) = (-1,e^2)$, og at stigningstallet til tangenten er $a = f'(-1) = -e^2$, så tangenten er gitt ved likningen $y = -e^2x$.

[Negua]

Takk for svar!

Men jeg er fortsatt usikker her.

[tex]-e^{2}[/tex] er altså skjæringspunktet. I den andre oppgaven, så er jo ikke 18 skjæringspunktet, selv om det er a.
I oppgave 8 kan vi sette y=ax = y=f'(x)x, men det fungerer ikke i YT-oppgaven. Med andre ord, i YT-videoen fungerer det ikke å sette f(x) = f'(x) for å finne skjæringspunktet. Er dette noe man kun kan gjøre når tangenten går gjennom origo?

[DennisChristensen]

Takk for svar!

Men jeg er fortsatt usikker her.

[tex]-e^{2}[/tex] er altså skjæringspunktet. I den andre oppgaven, så er jo ikke 18 skjæringspunktet, selv om det er a.

Du mener vel "stigningstall" istedenfor "skjæringspunkt"? $-e^2$ og $18$ er tall, ikke punkter, så vanskelig å skjønne hva du mener her.

I oppgave 8 kan vi sette y=ax = y=f'(x)x, men det fungerer ikke i YT-oppgaven. Med andre ord, i YT-videoen fungerer det ikke å sette f(x) = f'(x) for å finne skjæringspunktet. Er dette noe man kun kan gjøre når tangenten går gjennom origo?

$f'(x)$ vil alltid være stigningstallet til tangenten til $f$ i punktet $(x,f(x))$. Vi går altså frem i begge oppgavene på samme måte, men i youtube-oppgaven må vi også huske på at tangenten kan ha et annet konstantledd, nettopp fordi det ikke er gitt noen garanti for at tangenten skal gå gjennom origo. Altså kan vi ikke anta at likningen for tangenten er på formen $y=ax$, men heller $y=ax+b$, slik det også er gjort i videoen.

[Negua]

Jeg mente "stigningstall", i stedet for "skjæringspunkt".

Jeg har bare trøbbel med å holde tunga rett i munn. Blir mye å holde styr på. Jeg må nok gjøre denne oppgaven noen ganger før den sitter.

Takk for hjelpen!