matematikk.net

har vedlagt bilde av oppgava

Jeg lurer på oppgave c. Hva mener de med at rekka skal konvergere mot a?

mattenøtta wrote:har vedlagt bilde av oppgava

Jeg lurer på oppgave c. Hva mener de med at rekka skal konvergere mot a?

Vi ønsker å undersøke for hvilke $a\in\mathbb{R}$ det finnes $x\in\mathbb{R}$ slik at $$e^x + e^{2x} + e^{3x} + \dots = a.$$ Vi vet at rekkens konvergensområde er gitt ved $e^x < 1$. altså, $x < \ln 1 = 0.$ Summen av den geometriske rekken er gitt ved $$e^x + e^{2x} + \dots = \frac{e^x}{1-e^x},$$ så vi får: $$\frac{e^x}{1-e^x} = a$$ $$e^x = a(1-e^x)$$ $$e^x(1+a) = a$$ $$e^x = \frac{a}{a+1}.$$ Vi krever at $x$ ligger i konvergensområdet, så $$e^x = \frac{a}{1+a} < 1$$ $$x = \ln\left(\frac{a}{1+a}\right) < 0.$$ For at logaritmen skal være definerbar trenger vi $\frac{a}{1+a} > 0.$ Dermed er svaret alle $a\in\mathbb{R}$ som tilfredsstiller $0 < \frac{a}{1+a} < 1.$

Anta at $1+a > 0$. Da får vi $0<a<a+1$, som stemmer for alle $a > -1$.
Anta så at $1+a < 0$. Da får vi $0 > a > a+1$, hvilket ikke stemmer for noen $a\in\mathbb{R}$.
Det er klart at $a=-1$ ikke gir noen løsning, ettersom $\frac{a}{1+a}$ da er udefinert.

Dermed er svaret $a>-1$.

takk!