matematikk.net

Heisann!

En oppgave (lett?) lyder som følger:

Ta utgangspunkt i en rettvinklet trekant med kateter 4 cm. Lag en ny likebeint, rettvinklet trekant ved å dele en katet på midten.

Hva blir arealet av en spiral med 10 trekanter laget på denne måten?

Alstå: arealet av trekant 1 blir da 4*4*0,5 = 8. Arealet av trekant 2 er 2*2*0,5 = 2. Kvotienten blir følgelig 0,25.

Skulle nå tro at det bare var til å bruke formelen for summen av n antall ledd i en geometrisk rekke.

S[sub]10[/sub] = (8(0,25[sup]10[/sup]-1))/(0,25-1) ~ 10,667

Fasitsvaret er imidlertid 15,99. Er det jeg eller fasiten som er på bærtur her?

Takk for hjelp!

La ABC være den rettvinklede og likebeinte trekanten der vinkel A er rett. Den neste trekanten i rekken blir den formlike trekanten ABD (evt. ACD) der D er midtpunktet på hypotenusen BC. Arealet av trekant ABD er halvparten av trekant ABC. Så summen av arealene av de ti trekantene blir

8(1 +1/2 +1/2[sup]2[/sup] + ... + 1/2[sup]9[/sup]) = (8/2[sup]9[/sup])(1 + 2+ 2[sup]2[/sup] + ... + 2[sup]9[/sup]) = 8(2[sup]10[/sup] - 1)/2[sup]9[/sup] = 8*2 - 2[sup]3[/sup]/2[sup]9[/sup] = 16 - 1/2[sup]6[/sup] = 16 - 1/64 = 15,984375.

Hei Solar Plexsus, jeg tror du misforstår meg litt.
Det er kateten som skal deles på midten, ikke hypotenusen.
Etter din tankegang er det med andre ord siden AB eller AC som skal deles i to, og ikke BC.

Eller så er det jeg som misforstår deg...

C
|....\
|.....\
|......\
|.......\
|........\
|_____\
A.........B

der AC = AB, og vinkel A er 90 grader. Er det slik du mener?

Din tolkning er rimelig ut fra det som står i oppgaveteksten. Men din måte å tolke oppgaven på gir (såvidt jeg kan se) ikke en spiral av trekanter (noe min tolkning gjør). Du har dog et poeng i at min tolkning ikke stemmer overens med siste linje i oppgaveteksten: "Lag en ny likebeint, rettvinklet trekant ved å dele en katet på midten". For at min tolkning skulle være 100% gyldig, skulle ordene "en katet" vært byttet ut med "hypotenusen". Jeg har valgt en tolkning som gjør at det svaret jeg får stemmer overens med fasitsvaret. Ut fra din tolkning av oppgaven ser jeg jo at svaret du kommer frem til, er korrekt.

For å fjerne all mulig tvil, burde det til oppgaveteksten fulgt en illustrasjon av hvordan denne spiralen av trekanter dannes.