matematikk.net

I matteboken Sinus S2 blir følgende skrevet om eulertallet:

[tex]1,1^{10}=2,59374[/tex]
[tex]1,01^{100}=2,70481[/tex]
[tex]1,001^{1000}=2,71692[/tex]

Vi skal omforme potensene ovenfor til å finne en god definisjon av e. Når vi for eksempel velger t = 0,001, blir

[tex]\frac{1}{t}=\frac{1}{0,001}=1000[/tex] (1)

Dermed blir

[tex](1+t)^\frac{1}{t}=1,001^{1000}[/tex] (2)

Når vi velger t nær null, blir altså [tex](1+t)^\frac{1}{t}[/tex] nær tallet e. Ved hjelp av grensetegnet lim kan vi skrive definisjonen slik:

[tex]e=\lim_{t\rightarrow 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}[/tex] (3)

Hvordan kommer de fram til overgangen mellom (1) og (2) her?

Og setter pris på en kort forklaring av (3)?

Det er ingen direkte overgang mellom (1) og (2). Det som står i (1) er bare eksponenten i (2).

Grunntallet $1+t$ er slik at for $t = 0.1$, så får vi $1+t = 1+0.1 = 1.1$, og eksponenten blir $\frac1t = \frac1{0.1} = 10$, så vi får en tilnærming gitt ved $(1+t)\frac1t = 1.1^{10}$.

Det som skjer i (3) er at vi sier at vi betrakter hva som skjer når $t$ får en stadig mindre verdi ut fra $t=0.1, \quad t=0.01, \quad t=0.001, \quad t=0.0001 \ldots$.

$\lim\limits_{t\to0}$ betyr bare "la $t$ være en verdi som stadig går mot 0". I stedet for å prøve å sjekke ALLE lave $t$-verdier, sier vi bare at vi ønsker å se hva som skjer når $t$ blir så liten som vi kan få den, uten å bli nøyaktig lik 0. Det vil ikke gi mening å faktisk sette $t=0$ her, og vi bruker grenseverdier for å regne på hva som skjer når vi kommer så nærme som mulig.

Å, ja! Forsto det bedre nå.

Tusen takk for raskt svar, hjalp mye