matematikk.net

Let A be an nxn matrix, and let v[sub]1[/sub], v[sub]2[/sub], .., v[sub]n[/sub] be linearly independent vetors in R[sup]n[/sup] expressed as nx1 matrices. What must be true about A for Av[sub]1[/sub], Av[sub]2[/sub], .., Av[sub]n[/sub] to be linearly independent?

Hm, ja.

Hvis A er invertibel, så er Av1, ..., Avn lineært uavhengige:

La A være invertibel og c1,...,cn skalarer slik at

c1Av1+...+cnAvn=0

A(c1v1)+...+A(cnvn)=0

Nå kan vi gange med A^(-1) og får:

c1v1+...+cnvn=0

Siden v1,...,vn er lineært uavhengige, så er c1=...=cn=0, altså er Av1,...,Avn lineært uavhengige.

La B og C være nxn-matrisene som har hhv. v[sub]i[/sub] og Av[sub]i[/sub] som kolonnevektor nummer i. Da er C=AB. Ergo blir

det(C) = det(AB) = det(A)*det(B)

Nå er det(B)<>0 i.o.m. at kolonnevektorene i B er lineært uavhengige. M.a.o. er det(C)=0 hvis og bare det(A)=0. Så hvis kolonnevektorene Av[sub]1[/sub], Av[sub]2[/sub], ..., Av[sub]n[/sub] i C er lineært uavhengige (i.e. det(C)<>0) hvis og bare hvis A er invertibel (i.e. det(A)<>0).

Tusen takk skal dere ha!