Forstår ikkje framgangsmåte med rasjonal likning

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Forstår ikkje framgangsmåte med rasjonal likning

Innlegg Halvliter » 09/07-2018 21:39

Har prøvd å bruke WolframAlpha for å prøve å forstå korleis eg skal løyse denne likninga:

[tex]\frac{2}{x-2}=\frac{4}{x-1}[/tex]

Og fekk dette svaret.

Solve for x over the real numbers:
2/(x - 2) = 4/(x - 1)

Hint: | Transform 2/(x - 2) = 4/(x - 1) so that x only appears in the numerator.
Take the reciprocal of both sides:
(x - 2)/2 = (x - 1)/4

Hint: | Write the linear polynomial on the left hand side in standard form.
Expand out terms of the left hand side:
x/2 - 1 = (x - 1)/4

Hint: | Write the linear polynomial on the right hand side in standard form.
Expand out terms of the right hand side:
x/2 - 1 = x/4 - 1/4

Hint: | Isolate x to the left hand side.
Subtract x/4 - 1 from both sides:
x/4 = 3/4

Hint: | Solve for x.
Multiply both sides by 4:
Answer: |
| x = 3

"Reciprocal" har eg skjønt betyr noko slikt som "invers", men eg skjønner ikkje korleis du plutselig kan ha lov til å snu brøkene i ein likning på hodet.

Eg prøvde å flytte den eine brøken over og skifter fortegn, og får dette svaret:

Solve for x over the real numbers:
2/(x - 2) - 4/(x - 1) = 0

Hint: | Write the left hand side as a single fraction.
Bring 2/(x - 2) - 4/(x - 1) together using the common denominator (x - 2) (x - 1):
-(2 (x - 3))/((x - 2) (x - 1)) = 0

Hint: | Divide both sides by a constant to simplify the equation.
Divide both sides by -2:
(x - 3)/((x - 2) (x - 1)) = 0

Hint: | Multiply both sides by a polynomial to clear fractions.
Multiply both sides by (x - 2) (x - 1):
x - 3 = 0

Hint: | Solve for x.
Add 3 to both sides:
Answer: |
| x = 3

Den slo sammen brøkene under ein brøkstrek med fellesnevneren (x - 2) (x - 1) og gjorde brøken negativ, samtidig forstod eg ikkje korleis telleren blei som den blei.
Halvliter offline
Noether
Noether
Innlegg: 20
Registrert: 25/06-2018 12:45

Re: Forstår ikkje framgangsmåte med rasjonal likning

Innlegg Kay » 09/07-2018 22:19

Kan gi deg en alternativ, kanskje lettere måte å forstå det på gjennom et løsningsforslag.

[tex]\frac{2}{x-2}=\frac{4}{x-1}, x\neq{2,1}[/tex]

Det letteste du kan gjøre her er å gange opp med begge nevnerne bare du gjør det på begge sider, slik at du gjør det samme på høyre side som på venstre side, slik at

[tex]\frac{2(x-2)(x-1)}{(x-2)}=\frac{4(x-1)(x-2)}{(x-1)}[/tex]

Da ser du nok fort at du kan forkorte nevnerne på hver side slik at

[tex]2(x-1)=4(x-2)[/tex]

Herfra deler du på to på hver side for å bli kvitt 2-faktoren på venstre side, slik at vi oppnår

[tex](x-1)=2(x-2)[/tex]

Videre er det en ganske planke likning

[tex](x-1)=2(x-2)\Leftrightarrow x-1=2x-4\Leftrightarrow -x=-3\Leftrightarrow x=3[/tex]

Vi observerer så at [tex]x=3[/tex] ikke kræsjer med betingelsen [tex]x\neq 2,1[/tex] og dermed er problemet løst.
[tex]i\hbar\frac{d}{dt}|\Psi(t) \rangle=\hat{H}|\Psi(t) \rangle[/tex]
Kay offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 417
Registrert: 13/06-2016 18:23

Re: Forstår ikkje framgangsmåte med rasjonal likning

Innlegg Aleks855 » 10/07-2018 09:20

Halvliter skrev:"Reciprocal" har eg skjønt betyr noko slikt som "invers", men eg skjønner ikkje korleis du plutselig kan ha lov til å snu brøkene i ein likning på hodet.


Ja, det stemmer at "reciprocal" betyr invers her. En brøk $\frac ab$ sin "reciprocal" vil være $\frac ba$.

Dette er det samme som "invers" i den forstand at $\left( \frac ab \right)^{-1} = \frac ba$.

I stedet for å se på det som at "vi snur brøkene" uten videre seremoni, tenk heller på at når vi løser likninger så kan vi utføre operasjoner så lenge vi gjør de samme operasjonene på begge sider.

Gitt likninga $\frac{2}{x-2}=\frac{4}{x-1}$, tar vi altså inversen av begge sider. Med andre ord, opphøyer vi begge sider i $-1$. Dette resulterer i at begge brøkene blir snudd på hodet.

Dette betyr også at gitt hvilken som helst likning der begge sider består av en brøk, kan du snu begge brøkene dersom du skulle ha behov for det.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5441
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Forstår ikkje framgangsmåte med rasjonal likning

Innlegg Halvliter » 10/07-2018 10:42

Tusen takk skal dere ha, det var to veldig gode forklaringer!
Halvliter offline
Noether
Noether
Innlegg: 20
Registrert: 25/06-2018 12:45

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google [Bot] og 27 gjester