matematikk.net

Jeg lurer på en oppgave her, finner ingen ekspempler i boka og skjønner ikke helt definisjonen.

1.
"Show that the transition matrix is regular, and find its steady-vector."
A transition matrix is regular if some integer power of it has all positive entries, det er definisjonen, men hva betyr "integer power"?

Det betyr heltallig eksponent, dvs matrisen opphøyd i et heltall. Dvs finn ut om det finnes en n-stegs overgangsmatrise hvor alle elementene i matrisa er positive.

Hm, det tror jeg ikke at jeg helt skjønner hvordan jeg skal få til.

Hei, kunne jeg fått litt hjelp på denne? Hjalp ikke å sove på det.

Regner du ut T[sup]2[/sup] der T er overgangsmatrisa, får du

1/2 .. 1/4 .. 1/4
1/4 .. 1/2 .. 1/4
1/4 .. 1/4 .. 1/2

til svar. Alle elementene i T[sup]2[/sup] er positive, hvilket innebærer at T er en regulær matrise.

For at det skal eksistere en steady-state-vektor må markov-kjeden være ergodisk og irredusibel, dette må du fastslå først. Så gjenstår å løse egenverdiproblemet

P[sup]T[/sup]v=v
og
[sigma][/sigma]v[sub]i[/sub]=1

Hvor v er en vektor hvor elementene,v[sub]i[/sub], i=1..3, er steady-state sannsynlighetene til hver tilstand, hhv 1,2,3. P er overgangsmatrisen du har oppgitt i oppgaven.

OK, takk skal dere ha.

Et sentralt teorem innen teorien for Markov-kjeder lyder:

Likevektstilstandsvektoren q til en regulær overgangsmatrise P er den unike sannsynlighetsvektoren som tilfredsstiller likningen Pq = q.

Følgelig holder det å vise at overgangsmatrisa P er regulær for å fastslå at likevektstilstandsvektoren q eksisterer.

Det stemmer det, men skal du finne steady-state løsningen må man jo løse ligningen...

Det du sier er selvsagt korrekt. Men grunnen til at jeg henviste til dette teoremet, var følgende setning i signaturens "Cauchy" nest siste innlegg:

For at det skal eksistere en steady-state-vektor må markov-kjeden være ergodisk og irredusibel, dette må du fastslå først.

Poenget mitt er at vi vet at "steady-state"-vektoren eksisterer dersom overgangsmatrisa er regulær. Dermed er det ikke nødvendig å bevise at nevnte vektor er ergodisk og irredusibel.

Da er jo alt bra da, vi er enige som bare det

Til slutt bare en kommentar om en upresishet: Er ikke vektoren som ergodisk, irredusibel, men markovkjeden.