matematikk.net

oppgaven lyder:

8.52 i en influensaepidemi var mange smittet. etter x måneder var den prosentdelen av innbyggerne som var syke gitt ved:

p(x) = 100xe^-x

a) hvilken tid var det flest syke? hvor stor var prosentdelen da?

Må jeg da gå ut fra at ikke alle (100%) kan være syke, siden ender opp med ln null noe som ikke går. Går ut fra 99% for P(X), ender opp med x = 1 (1 måned). ER dette riktig?

så spør de om prosenten hvor jeg setter inn for x= 1 og får 36%, men hvorfor blir ikke denne prosenten lik 99% som jeg satte inn for til å begynne med? surrer litt her

Henrikmatte wrote:oppgaven lyder:

8.52 i en influensaepidemi var mange smittet. etter x måneder var den prosentdelen av innbyggerne som var syke gitt ved:

p(x) = 100xe^-x

a) hvilken tid var det flest syke? hvor stor var prosentdelen da?

Må jeg da gå ut fra at ikke alle (100%) kan være syke, siden ender opp med ln null noe som ikke går. Går ut fra 99% for P(X), ender opp med x = 1 (1 måned). ER dette riktig?

så spør de om prosenten hvor jeg setter inn for x= 1 og får 36%, men hvorfor blir ikke denne prosenten lik 99% som jeg satte inn for til å begynne med? surrer litt her

Det er ikke noe tidspunkt hvor $99$% eller $100$% er syke. For å finne tidspunktet hvor flest er syke ønsker vi å finne toppunktet til funksjonen. Dette gjør vi ved å derivere: $$P(x) = 100xe^{-x},$$ $$P'(x) = 100\left[e^{-x} -xe^{-x}\right] = 100e^{-x}\left(1-x\right).$$

Dermed ser vi at likningen $P'(x) = 0$ har løsningen $x=1$. Vi deriverer igjen for å verifisere at denne løsningen faktisk gir et toppunkt på grafen: $$P''(x) = -100\left[e^{-x}(1-x) + e^{-x}\right] = 100e^{-x}\left(x-2\right),$$ så $P''(1) = 100e^{-1}(1-2) = -100e^{-1} < 0,$ så $x=1$ gir et toppunkt. Dermed regner vi ut $$P(1) = 100\cdot 1\cdot e^{-1} = \frac{100}{e} \approx 36,8.$$