modulu

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

modulu

Innlegg pinto » 11/08-2018 09:53

Man har et 8 siffer tall med 3 ukjente siffer.

Man får oppgitt 4 modulu med rest.

Jeg får 4 likninger, men uten entydelig løsning!

Noen tips?
pinto offline

Re: modulu

Innlegg Markus » 11/08-2018 19:49

Litt vanskelig å forstå hva du mener her. Hvilke siffer er for eksempel ukjente? Har du oppgaven og kan legge den ut?
Markus offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 496
Registrert: 20/09-2016 12:48

Re: modulu

Innlegg pinto » 11/08-2018 20:48

565xy85z
mod2=1,mod5=0,mod9=4;mod11=5
pinto offline

Re: modulu

Innlegg Markus » 11/08-2018 22:28

pinto skrev:565xy85z
mod2=1,mod5=0,mod9=4;mod11=5

Kall tallet ditt $k$. Siden $k \equiv 0 \, (\text{mod } 5)$, må det siste sifferet være $0$ eller $5$. Men siden $k \equiv 1 \, (\text{mod } 2)$ kan ikke det siste sifferet være $0$, for da hadde $k \equiv 0 \, (\text{mod } 2)$, altså må $z=5$. For å finne $x$ og $y$ kan du bruke de to delresultatene under.


$\textbf{Proposisjon 1:}$ For et hvert naturlig tall $n$ er den alterende tverrsummen av $n$ og $n$ selv kongruente modulo 11.
Altså hvis siffrene i $n$ er $a_j, a_{j-1}, \dots, a_2, a_1, a_0$ er $n \equiv \sum_{i=0}^j (-1)^i a_i \enspace (\text{mod }11)$
Bevis:
[+] Skjult tekst
Hvis vi lar siffrene i $n$ være gitt ved $a_j, a_{j-1},\dots, a_{1},a_0$, kan n skrives som $n= \sum_{i=0}^j a_i 10^i$. Siden $10 \equiv -1 \enspace (\text{mod } 11)$, følger det av grunnleggende regler i modulær artimetikk at $10^{j} \equiv 1$ hvis $j$ er partall og $10^{j} \equiv -1$ hvis $j$ er oddetall. Vi får altså nå at $$\begin{alignat*}{2}n &= \sum_{i=0}^j a_i 10^i \\ &= a_0+a_1 10^1 + a_210^2 + \dots + a_{j-1}10^{j-1} + a_j10^j \\ &\equiv a_0 + a_1(-1)^1 + a_2(-1)^2 + a_3(-1)^3 + \dots + a_{j-1}(-1)^{j-1} + a_j(-1)^j \enspace (\text{mod } 11) \\ &= a_0 - a_1 + a_2 + \dots \pm a_{j-1} \mp a_{j}\end{alignat*}$$ Som fullfører beviset.


$\textbf{Proposisjon 2:}$ For et hvert naturlig tall $n$ er tverrsummen av $n$ og $n$ selv kongruente modulo 9.
Altså hvis siffrene i $n$ er $a_j, a_{j-1}, \dots, a_2, a_1, a_0$ er $n \equiv \sum_{i=0}^j a_i \enspace (\text{mod } 9)$
Bevis:
[+] Skjult tekst
Dette beviset er mer eller mindre likt det forrige. På samme måte som i forrige bevis, skriv $n= \sum_{i=0}^j a_i10^i$. Siden $10 \equiv 1 \enspace (\text{mod } 9)$. Nå er $10 \equiv 1 \enspace (\text{mod } 9) \implies 10^j \equiv 1^j \equiv 1 \enspace (\text{mod } 9)$. Vi får nå at $$\begin{alignat*}{2} n &= \sum_{i=0}^j a_i10^i \\ &= a_0+a_110^i + a_210^2+\dots+a_{j-1}10^{j-1}+a_j10^j \\ &\equiv a_0+a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 1^2 + \dots + a_{j-1}1^{j-1} + a_j1^j \enspace (\text{mod } 9) \\ &= a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_{j-1} + a_j \end{alignat*}$$


Ser du hvordan du kan bruke de to proposisjonene til å finne $x$ og $y$?
Sist endret av Markus den 12/08-2018 13:04, endret 2 ganger.
Markus offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 496
Registrert: 20/09-2016 12:48

Re: modulu

Innlegg pinto » 12/08-2018 09:35

Takk for hjelpen!!!
pinto offline

Re: modulu

Innlegg stensrud » 12/08-2018 20:32

Markus skrev:$\textbf{Proposisjon 1:}$ For et hvert naturlig tall $n$ er den alterende tverrsummen av $n$ og $n$ selv kongruente modulo 11.
Altså hvis siffrene i $n$ er $a_j, a_{j-1}, \dots, a_2, a_1, a_0$ er $n \equiv \sum_{i=0}^j (-1)^i a_i \enspace (\text{mod }11)$

Nå skal jeg være litt ekkel og pirkete, men tverrsummen av $n$ er som regel definert som $\sum_{i}^j (-1)^{j-i}a_i$. Ekvivalensen du skrev over er sann, men i noen tilfeller vil høyresiden ha motsatt fortegn av tverrsummen - nettopp når $j$ er odde.
stensrud offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 424
Registrert: 08/11-2014 21:13
Bosted: Cambridge

Re: modulu

Innlegg Markus » 12/08-2018 22:24

stensrud skrev:Nå skal jeg være litt ekkel og pirkete, men tverrsummen av $n$ er som regel definert som $\sum_{i}^j (-1)^{j-i}a_i$. Ekvivalensen du skrev over er sann, men i noen tilfeller vil høyresiden ha motsatt fortegn av tverrsummen - nettopp når $j$ er odde.

Det er bare å pirke i vei! I beviset brukte jeg avslutningsvis notasjonen $a_0 + a_1 + \dots \pm a_{j-1} \mp a_{j}$ som også bør fungere uavhengig av om $j$ eller partall er oddetall? Riktignok ganske mye mer tungvindt og uoversiktlig notasjon sammenlignet med den du skriver.
Markus offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 496
Registrert: 20/09-2016 12:48

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 38 gjester