matematikk.net

oppgaven viser f = x^4 -2x^3 +2 x tilhører (-1,1)

Vis at (0,2)er eit terrassepunkt på grafen til f.

Holder det ikke å derivere og vise at om x = 0 så vil det være et terrasse punkt, for da vil den deriverte også være 0? etter det setter man inn x =0 i f(x) og viser at man ender opp med y=2.

I fasiten setter de inn for x =1 og x=1 og sier Funksjonen er strengt avtagende på begge sider av x=0.

tonytony wrote:oppgaven viser f = x^4 -2x^3 +2 x tilhører (-1,1)

Vis at (0,2)er eit terrassepunkt på grafen til f.

Holder det ikke å derivere og vise at om x = 0 så vil det være et terrasse punkt, for da vil den deriverte også være 0? etter det setter man inn x =0 i f(x) og viser at man ender opp med y=2.

I fasiten setter de inn for x =1 og x=1 og sier Funksjonen er strengt avtagende på begge sider av x=0.

For å vise at $(0,2)$ er et terrassepunkt på grafen til $f$ må vi vise tre ting:
(a) $(0,2)$ er et punkt på grafen til $f$ (dvs. $f(0) = 2$)
(b) $(0,2)$ er et stasjonært punkt for $f$ (dvs. $f'(0) = 0$)
(c) $(0,2)$ er hverken toppunkt eller bunnpunkt for $f$ (dvs. $f''$ bytter fortegn i $x=0$)

Løsning:
(a) $$f(0) = 0^4 - 2\cdot 0^2 + 2 = 2 \hspace{2ex} \checkmark$$

(b) $f'(x) = 4x^3 - 6x^2,$ så $$f'(0) = 4\cdot 0^3 - 6\cdot 0^2 = 0 \hspace{2ex} \checkmark$$

(c) $f''(x) = 12x^2 - 6x = 6x(2x - 1),$ så vi ser at $f''$ har $\displaystyle\begin{cases} \text{negativt fortegn når }x\in \left(0, \frac12\right) \\ \text{positivt fortegn når }x\in\left(-\infty, 0\right) \cup \left(\frac12, \infty\right)\end{cases}$. Altså bytter $f''$ fortegn i $x=0$, hvilket viser at $(0,2)$ er et terrassepunkt for $f$.

Bare én kommentar til (b): Et terrassepunkt er ikke et ekstremalpunkt, det er bare topp- og bunnpunkt som er det.

Stedene der f'(x)=0 kalles stasjonære punkt, det kan være ekstremalpunkt (topp eller bunn) eller terrassepunkt.