matematikk.net

2. Bevegelseslikningene ved konstant akselerasjon er gitt ved

(1) v = v0 + at
(2) s = v0t + (at2)/2
(3) v2 - v02 = 2as

a) Vis at likning (1) kan utledes av likning (2) ved derivasjon.
b) Vis at likning (3) kan utledes av likningene (1) og (2) ved å eliminere t.


Noen som kan hjelpe meg? (Hadde P-Matte i vg1), har ikke lært derivasjon... :/
Takk!

Spitfire69 wrote:2. Bevegelseslikningene ved konstant akselerasjon er gitt ved

(1) v = v0 + at
(2) s = v0t + (at2)/2
(3) v2 - v02 = 2as

a) Vis at likning (1) kan utledes av likning (2) ved derivasjon.
b) Vis at likning (3) kan utledes av likningene (1) og (2) ved å eliminere t.


Noen som kan hjelpe meg? (Hadde P-Matte i vg1), har ikke lært derivasjon... :/
Takk!

[tex]v=v_0+at[/tex]
[tex]s=v_0t+\frac{1}{2}at^2[/tex]
[tex]v^2=v_0^2+2as[/tex]

For å kunne derivere likning (2) trenger vi å kjenne eksponent-regelen for derivasjon. Den lyder slik [tex]\frac{d}{dt}t^n=nt^{n-1}[/tex] Dermed kan vi observere at [tex]\frac{d}{dt} \left (v_0t+\frac{1}{2}at^2 \right )=v_0\cdot1t^{1-1}+\frac{1}{2}a\cdot2t^{2-1}=v_0t^0+\frac{1}{2}a \cdot 2t^1=v_0+at[/tex]

for oppgave b) ser vi på likning (1) og (2). Vi vet at [tex]v=v_0+at[/tex] dermed kan vi finne et uttrykk for [tex]t[/tex], som du kanskje ser blir dette [tex]t=\frac{v-v_0}{a}[/tex]. Ved innsetting i likning (2) får vi dermed

[tex]s=v_0t+\frac{1}{2}at^2=v_0\left (\frac{v-v_0}{a} \right )+\frac{1}{2}a\left ( \frac{v-v_0}{a} \right )^2=\frac{v_0v-v_0^2}{a}+\frac{1}{2}a\frac{(v-v_0)^2}{a^2}=\frac{v_0v-v_0^2}{a}+\frac{(v-v_0)^2}{2a}=\frac{2v_0v-2v_0^2+v^2-2v_0v+v_0^2}{2a}=\frac{v^2-v_0^2}{2a}=s[/tex]

Herifra ser vi at [tex]\frac{v^2-v_0^2}{2a}=s \Leftrightarrow v^2=2as+v_0^2=v_0^2+2as[/tex]