Enhetsformelen

[Haakki]

Sliter litt med en oppgave: "vis at 1 + tan^2x = 1/cos^2x". Jeg søkte litt rundt på Google og så at noen gjorde 1 + sin^2x/cos^2x om til (cos^2x + sin^2x)/cos^2x, og derifra løser oppgaven seg selv. Men skjønner ikke helt hva som skjedde i omgjøring der. Setter pris på en forklaring!

[DennisChristensen]

Sliter litt med en oppgave: "vis at 1 + tan^2x = 1/cos^2x". Jeg søkte litt rundt på Google og så at noen gjorde 1 + sin^2x/cos^2x om til (cos^2x + sin^2x)/cos^2x, og derifra løser oppgaven seg selv. Men skjønner ikke helt hva som skjedde i omgjøring der. Setter pris på en forklaring!

Enhetsformelen forteller oss at $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ for alle $x \in \mathbb{R}$. Dermed kan vi skrive følgende:
$$1 + \tan^2 x = 1 + \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 = 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}.$$

[Haakki]

Takk for raskt svar, setter pris på hjelpen!