matematikk.net

"I desimaltallet a= 0,272727.... så gjentar sifrene 27 seg i det uendelige. Skriv a som en uendelig geometrisk rekke, og bruk dette til å skrive a som et rasjonalt tall"

Antar at jeg skal bruke formelen s= a/(1-k) med a=0,27 men hva blir k da?

met1 wrote:"I desimaltallet a= 0,272727.... så gjentar sifrene 27 seg i det uendelige. Skriv a som en uendelig geometrisk rekke, og bruk dette til å skrive a som et rasjonalt tall"

Antar at jeg skal bruke formelen s= a/(1-k) med a=0,27 men hva blir k da?

$$ 0,\bar{27} = 0,272727\dots = 0,27 + 0,0027 + 0,000027 + \dots
= 0,27\left(1 +0,01 + 0,0001 + \dots\right)
= 0,27\left(10^0 + 10^{-2} + 10^{-4} + \dots\right) \\
= 0,27\sum_{k=0}^{\infty}\left(10^{-2}\right)^k
= \frac{0,27}{1-10^{-2}}
= \frac{0,27}{\left(\frac{99}{100}\right)}
= \frac{100\cdot 0,27}{99}
= \frac{27}{99}
= \frac{3}{11}.
$$