Page 1 of 1
Integrasjon
Posted: 19/10-2018 16:18
by MatematikkOslo
Noen her som skjønner opppgavea)?
Re: Integrasjon
Posted: 19/10-2018 22:46
by DennisChristensen
Vi parametriserer kurven som $\gamma(t) = (t,t^2)^T, \hspace{2ex}0\leq t\leq 2.$ Da får vi lengden
$$
L = \int_{t=0}^1|\gamma'(t)|\,\mbox{d}t = \int_{t=0}^1|(1,2t)^T|\,\mbox{d}t = \int_{t=0}^1\sqrt{1+4t^2}\,\mbox{d}t.
$$
La $s = 2t$, så $\mbox{d}s = 2\mbox{d}t$. Da ser vi at $L = \frac12\int_{s=0}^2\sqrt{1+s^2}\,\mbox{d}s$, som ønsket.
Re: Integrasjon
Posted: 21/10-2018 00:13
by MatematikkOsIo
Hei Dennis!
Hvordan kom du frem til dette, skjønte ikke helt :/
Re: Integrasjon
Posted: 21/10-2018 08:04
by DennisChristensen
MatematikkOsIo wrote:Hei Dennis!
Hvordan kom du frem til dette, skjønte ikke helt :/
Gitt en parametrisert kurve $\gamma(t),\hspace{1ex}a\leq t\leq b$, er kurvens lengde $\mathcal{L}(\gamma)$ definert som
$$
\mathcal{L}(\gamma) = \int_a^b\lVert\gamma’(t)\rVert\, \mbox{d}t.
$$
Re: Integrasjon
Posted: 21/10-2018 11:02
by MatematikkOsl0
Ja, men hvordan går du fra ledd nr 2 til ledd nr 3 i den øvre delen?
Re: Integrasjon
Posted: 21/10-2018 16:57
by DennisChristensen
MatematikkOsl0 wrote:Ja, men hvordan går du fra ledd nr 2 til ledd nr 3 i den øvre delen?
Har kun brukt at $\gamma'(t) = (1,2t)^T$ og definisjonen til lengden av en vektor: $|\gamma'(t)| = \sqrt{1^2 + (2t)^2} = \sqrt{1 + 4t^2}$.
Re: Integrasjon
Posted: 21/10-2018 17:37
by 123matte
Ja, det var forståelig, men ikke det nederste
Re: Integrasjon
Posted: 21/10-2018 21:14
by DennisChristensen
123matte wrote:Ja, det var forståelig, men ikke det nederste
Det er kun en substitusjon, lik dem du har sett i matematikk R2. Det kan være lurt å friske opp deler av R2-pensumet, da dette benyttes hyppig i universitetsmatematikken.