matematikk.net

Funksjonen f er gitt ved
f(x)=u/v


der u og v er funksjoner av x. Vi antar i denne oppgaven at u og v er større enn 0.

Logaritmeregelen for en brøk gir ln(f(x))=lnu -lnv
a) Bruk logaritmeregelen og kjerneregelen til å bestemme ln(f(x))' uttrykt ved u,v,u',v'
b) Bruk uttrykket fra oppgave a) til å utlede derivasjonsregelen for en brøk.

Noen som kan forklare hva dette betyr enkelt? skjønner ikke fasiten.

peder22 wrote:Funksjonen f er gitt ved
f(x)=u/v


der u og v er funksjoner av x. Vi antar i denne oppgaven at u og v er større enn 0.

Logaritmeregelen for en brøk gir ln(f(x))=lnu -lnv
a) Bruk logaritmeregelen og kjerneregelen til å bestemme ln(f(x))' uttrykt ved u,v,u',v'
b) Bruk uttrykket fra oppgave a) til å utlede derivasjonsregelen for en brøk.

Noen som kan forklare hva dette betyr enkelt? skjønner ikke fasiten.

Kjerneregelen gir at $\ln(u(x))' = u'(x)\frac{1}{u(x)}$, ettersom $\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}u}\ln u = \frac{1}{u}$. Dette bør la deg klare å løse oppgave (a).

For å løse oppgave (b) må du ta utgangspunkt i svaret du fikk i (a). Se om du kan manipulere likningen du får til å bevise brøkregelen for derivasjon:
$$
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'\cdot v - u\cdot v'}{v^2}.
$$

DennisChristensen wrote:

peder22 wrote:Funksjonen f er gitt ved
f(x)=u/v


der u og v er funksjoner av x. Vi antar i denne oppgaven at u og v er større enn 0.

Logaritmeregelen for en brøk gir ln(f(x))=lnu -lnv
a) Bruk logaritmeregelen og kjerneregelen til å bestemme ln(f(x))' uttrykt ved u,v,u',v'
b) Bruk uttrykket fra oppgave a) til å utlede derivasjonsregelen for en brøk.

Noen som kan forklare hva dette betyr enkelt? skjønner ikke fasiten.

Kjerneregelen gir at $\ln(u(x))' = u'(x)\frac{1}{u(x)}$, ettersom $\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}u}\ln u = \frac{1}{u}$. Dette bør la deg klare å løse oppgave (a).

Ble det gjenbruk av $u$ her? I trådstarters notasjon, så er funksjonen $f(x) = \frac uv$, og man får $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}$. Siden $f(x) = \frac uv$ så vil $f(x)$ la seg erstatte ganske lett, men utfordringen er kanskje å bli kvitt $f'(x)$ til fordel for $u, v$ gitt at man kanskje ikke skal bruke brøkregelen.

Aleks855 wrote:

DennisChristensen wrote:

peder22 wrote:Funksjonen f er gitt ved
f(x)=u/v


der u og v er funksjoner av x. Vi antar i denne oppgaven at u og v er større enn 0.

Logaritmeregelen for en brøk gir ln(f(x))=lnu -lnv
a) Bruk logaritmeregelen og kjerneregelen til å bestemme ln(f(x))' uttrykt ved u,v,u',v'
b) Bruk uttrykket fra oppgave a) til å utlede derivasjonsregelen for en brøk.

Noen som kan forklare hva dette betyr enkelt? skjønner ikke fasiten.

Kjerneregelen gir at $\ln(u(x))' = u'(x)\frac{1}{u(x)}$, ettersom $\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}u}\ln u = \frac{1}{u}$. Dette bør la deg klare å løse oppgave (a).

Ble det gjenbruk av $u$ her? I trådstarters notasjon, så er funksjonen $f(x) = \frac uv$, og man får $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}$. Siden $f(x) = \frac uv$ så vil $f(x)$ la seg erstatte ganske lett, men utfordringen er kanskje å bli kvitt $f'(x)$ til fordel for $u, v$ gitt at man kanskje ikke skal bruke brøkregelen.

Om du substituerer $\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}$ direkte må du jo bruke brøkregelen for å finne $f'(x)$, men brøkregelen er jo nettopp hva vi ønsker å utlede.

Om du heller skriver $\ln (f(x)) = \ln\left(\frac{u}{v}\right) = \ln u - \ln v$, får vi brukt kjerneregelen som gir at
$$
\left(\ln(f(x))\right)' = \frac{u'}{u} - \frac{v'}{v}
$$