matematikk.net

Kan noen hjelpe meg med å vise at:

Hvis H er et subset av en gruppe G, a,b elementer i H, så er H en subgruppe av G hvis og bare hvis a*b[sup]-1[/sup] er et element i H. (b[sup]-1[/sup] er inversen til b)

For at H skal være en undergruppe av G, må vi ha (per definisjon av en gruppe):

1) H har at neutralt element e (dvs. e*a=a*e=a for alle a i H)
2) For alle a og b i H: a*b er i H
3) For alle a i H: a har et invers element i H (dvs det eksisterer et element c i H slik at a*c=c*a=e; skriver c=a^{-1})

Hvis H er en undergruppe av G, da har vi for alle a, b i H:

b^{-1} er et element i H ved 3) og a*b^{-1} er et element i H ved 2)

Omvendt: Anta at for alle elementer a, b i H gjelder: a*{b}^{-1} i H.

Må sjekke at 1)-3) holder:

1) For alle a i H: e=a*a^{-1} i H. (Merk at H har det samme neutrale elementet som G.)

3)For alle a i H: a^{-1}=e*a^{-1} i H

2) For alle a og b i H: a*b=a*(b^{-1})^{-1} i H.

Dermed er 1)-3) oppfylt, altså er H en gruppe (undergruppe av G).

Hadde ikke mye tid nå, hvis det er noe som er uforståelig bare spør mer.

Hei igjen.

Det jeg mente var: Finnes det noen måte, når man vet at H er et subset (ikke subgruppe, men subset) å vise at H er en subgruppe av G når man vet at a, b og ab[sup]-1[/sup] er element i H?

Dvs, vil ab[sup]-1[/sup] når det er med i H og H er et subset av en gruppe G implisere de tre gruppe/subgruppeaksiomene (1. assosivitet, 2. id elt 3. invers)?

Jeg noterer a[sup]-1[/sup] med a'. Jeg forstår det som at du kun vil ha bevis for implikasjonen ab' i H --> H undergruppe. Siden det står hvis og bare hvis i oppg må du jo vise begge veier for å være ferdig, men vi kan ta denne:

Anta ab' i H for a,b i H.

1) Siden a,b vilkårlige elementer i H, og G en gruppe, vet vi at a,b har inverser i G. Antagelsen gir at aa' og a'a er et element i H, men siden G en gruppe er aa'=e=a'a, så identitetelementet er med i H.

2)Igjen siden a,b vilkårlige elementer i H, har a og b inverser i G.
Under antagelsen ab' i H er også ba' i H, men da har vi

(ab')(ba')=e=(ba')(ab')

så invers-elementet i H.

3)Må vise lukkethet av operasjonen. La a,b være elementer i H. Da har vi

ab=a (b')'

men under antagelsen er a(b')' i H, altså er operasjonen lukket, og dermed H en undergruppe av G.

Da har vi vist den ene implikasjonen, så kan du prøve på den andre.

Det jeg viste var jo: For en undermengde (subset) H av en gruppe G gjelder:

H er en undergruppe av G hvis og bare hvis for alle elementer a, b i H: a*b^{-1} er med i H.

Spesielt vil "a*b^{-1} i H for alle a,b i H" implisere at H oppfyller alle 3 gruppeaksiomene.

kan noen forklare på en enkel måte hva en undergruppe er? Dersom rotasjoner/speilinger utfører samme operasjon, er de da i samme undergruppe???

Hva mener du med at de "utfører samme operasjon"?

Hvis du for eksempel tar gruppen av rotasjonene og speilingene for en likesidet trekant (denne gruppen er isomorf med S_3, permutasjonsgruppen), da danner for eksempel de 2 rotasjonene plus identitetselement (det elementet som verken speiler eller roterer noe) en undergruppe.