Supplementerer Aleks sitt gode svar med litt mer fakta, samt litt historie. Anbefaler for øvrig videoene hans; de er veldig gode!
Den delen av matematikk som omhandler den deriverte og den integrerte kalles kalkulus (også noen ganger analyse, men det er imo litt bredere). Hovedteoremet i denne delen av matematikken kalles
Analysens fundamentalteorem. Det er flere måter å uttrykke det på, men til syvende og sist sier den at integrasjon og derivasjon er omvendte operasjoner - slik som du har funnet ut av selv! Dette teoremet er noe av det Newton og Leibniz er aller mest kjent for, da de oppdaget det uavhengig av hverandre på 1600-tallet. Et korollar (det vil si noe som følger ganske direkte fra et teorem) som følger fort av Analysens fundamentalteorem er hvordan man kan bruke det til å finne arealet under grafen.
Vi skriver $\int_a^b f(x)$ for å betegne arealet under grafen til $f(x)$ mellom $a$ og $b$. Man kan tenke på dette som å dele opp arealet under grafen i mange små rektangler og summere arealet av disse. Logisk nok - flere rektangler, mer nøyaktighet. Selv om Newton og Leibniz viste analysens fundamentalteorem på 1600-tallet, var det langt ifra formelt nok til dagens standard for matematikk. Måten teoremet rigorøst (det vil si et formelt bevis) vises på i dag er gjerne ved å først introdusere Darbouxsummer, etter den franske matematikeren Jean Gaston Darboux. Uten å komme inn på detaljene, er disse kort og godt måter å summere opp arealet av oppdelte rektangler under grafen. Deretter introduseres Darbouxintegralet og noen andre teorem som man trenger etableres, før man viser analysens fundamentalteorem. Typisk etterpå er å vise at Darbouxintegralet og Riemannintegralet (etter den tyske matematikeren Bernhard Riemann) er ekvivalente. Sistnevnte viser seg å være lettere å bruke praktisk, men kronglete i bevis enn Darbouxintegralet. Det kan gått hende at dette går litt over hodet på deg, men det er ment som en teaser på hva du har i møte hvis du velger å studere matematikk videre etter VGS! Hvis du er interessert i detaljene, så har jeg skrevet et notat om alt nevnt over
her, inkludert et komplett bevis for analysens fundamentalteorem.
I R2 blir man introdusert til integralet for første gang. Der lærer man om hva det bestemte integralet og det ubestemte integralet representerer, og om grunnleggende integrasjonsteknikker. I motsetning til derivasjon, som vi (nesten) alltid kan utføre uavhengig av funksjonen, er det ikke alle funksjoner vi kan integrere, og noen er veldig vanskelige! Et kjent sitat, fra den norske matematikeren Viggo Brun lyder: "Derivasjon er håndverk, integrasjon er kunst!", og dette får vel fram poenget!
Som en liten bonus har jeg inkludert et ikke godt nok bevis for analysens fundamentalteorem under. Selv om det ikke holder, så får det veldig godt fram konseptuelt hvorfor derivasjon og integrasjon er omvendte operasjoner. Så for å starte, se på det vedlagte bildet.
La oss si at vi ønsker å finne arealet under grafen mellom $x$ og $x+h$. Vi vet at arealet er større en $f(x)\cdot(x+h-x)$ (se hvilket areal dette tilsvarer på grafen), og samtidig at arealet er mindre enn $f(x+h) \cdot (x+h-x)$. Kall arealet under grafen for funksjonen $A(x)$. Da er altså det arealet vi ønsker å finne under grafen lik $A(x+h)-A(x)$ (hvorfor?). Oppsummert har vi følgende ulikheter: $$f(x)\cdot h \leq A(x+h)-A(x) \leq f(x+h) \cdot h$$ Deles nå på $h$ overalt får vi at $$f(x) \leq \frac{A(x+h)-A(x)}{h} \leq f(x+h)$$ Se i midten av ulikheten! Dette ligner jo veldig mye på definisjonen av den deriverte. Hvis vi nå lar $h\to 0$ får vi at $$\lim_{h \to 0} f(x) \leq \lim_{h \to 0 } \frac{A(x+h)_A(x)}{h} \leq \lim_{h \to 0} f(x+h) \\ \implies f(x) \leq A'(x) \leq f(x)$$ Siden $A'(x)$ er skvist mellom det samme uttrykket, må vi ha at $A'(x)=f(x)$. Altså er den deriverte av arealet under grafen lik grafen selv - eller litt mer aktuelt sagt: vi kan få et uttrykk for arealet under grafen ved å antiderivere $f(x)$ - også kjent som å integrere.
